Haskell 理解Hindley-Milner型推理中的多型

我正在读维基百科的一篇文章，试图从中找到一些意义。到目前为止，我的理解是：

类型分为单型或多型

单类型进一步分类为类型常量（如

int

或

string

）或类型变量（如

α

和

β

）

类型常量可以是具体类型（如

int

和

string

）或类型构造函数（如

Map

和

Set

）

类型变量（如

α

和

β

）充当具体类型的占位符（如

int

和

字符串

）

现在我在理解多型方面有点困难，但在学习了Haskell之后，这就是我对它的理解：

类型本身有类型。形式上类型的类型称为种类（即有不同种类的类型）

具体类型（如

int

和

string

）和类型变量（如

α

和

β

）属于

*

类型

类型构造函数（如

Map

和

Set

）是类型的lambda抽象（例如

Set

是类

*->*

和

Map

是类

*->*->*

）

我不明白的是限定词意味着什么。例如，

∀α、 σ

表示什么？我似乎无法理解它的头绪，我越是读下面的一段，就越感到困惑：

具有polytype∀α、 相比之下，α->α可以将相同类型的任何值映射到自身，并且是该类型的值。另一个例子是∀α、 （集合α）->int是将所有有限集合映射为整数的函数类型。成员计数是此类型的值。请注意，限定符只能出现在顶层，即类型∀α.α -> ∀α、 例如，类型的语法排除了α，而单类型包含在多类型中，因此类型具有一般形式∀α₁ . . . ∀αₙ.τ

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首先，种类和多态类型是不同的。你可以有一个HM类型系统，其中所有类型都是相同的（*），你也可以有一个没有多态性但类型复杂的系统

如果术语

M

属于

∀a、 t

，这意味着对于任何类型的

s

，我们都可以在

t

中用

s

代替

a

（通常写为

t[a:=s]

，我们将得到

M

是

t[a:=s]类型的

。这有点类似于逻辑，在逻辑中，我们可以用任何术语替换通用量化变量，但这里我们讨论的是类型

这正是Haskell中发生的情况，只是在Haskell中你看不到量词。类型签名中出现的所有类型变量都是隐式量化的，就像你在类型前面有

forall

一样。例如，

map

会有类型

map：：全部a.全部b.（a->b）->[a]->[b]

等等。如果没有这种隐含的通用量化，类型变量

a

和

b

将必须具有某种固定的含义，并且

map

不会是多态的

HM算法区分类型（不带量词、单类型）和类型模式（通用量化类型、多类型）。重要的是，在某些地方它使用类型模式（如在

let

），但在其他地方只允许使用类型。这使整件事可以判定

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我还建议您阅读这篇文章。这是一个更复杂的系统，它允许所有类型中的

都是
（因此所有类型都称为type），但类型推断/检查是不可判定的。它可以帮助您了解所有
的工作原理。Girard、Lafont和Taylor对系统F进行了深入描述。
考虑Haskell中的
l=\x->t
。它是一个lambda，表示一个术语
t
，它包含一个变量
x
，稍后将被替换（例如，
l1
，无论它是什么意思）。同样地，
∀α、 σ
表示具有类型变量
α
的类型，即
f：∀α、 σ
如果由类型
α
参数化的函数。在某种意义上，
σ
依赖于
α
，因此
f
返回类型
σ（α）
的值，其中
α
将在
σ（α）
中替换，我们将得到一些具体的类型

在Haskell中，您可以省略
∀并定义类似于
id:a->a
的函数。允许省略量词的原因基本上是因为它们只允许在顶层使用（没有
RankNTypes
扩展）。您可以尝试以下代码：

id2 : a -> a -- I named it id2 since id is already defined in Prelude
id2 x = x

如果您向ghci询问
id
（
：t id
）的类型，它将返回
a->a
。更准确地说（更符合类型理论），
id
具有
∀a、 a->a
。现在，如果向代码中添加：

val = id2 3

，3具有类型
Int
，因此类型
Int
将被替换为
σ
，我们将得到关于Haskell中类型量化的具体类型
Int->Int
，可以成为一个有价值的发现。系统F的类型推理是不可判定的，但类型检查很容易（如果通过类型检查，我们的意思是用类型对术语进行注释，我们只是检查这些注释是否有意义）。@augustss通过类型检查，意味着您获得了一个未注释的术语（咖喱风格）还有一个类型，你应该确定这个术语是否符合这个类型。这也是不可判定的，正如Joe Wells在《佩特普德拉克》中所证明的那样。@PetrPudlák我知道这是不可判定的。很多人把类型检验称为检验教堂风格术语是否有效的过程，所以