Haskell中遵守模态公理的有趣算子

我只是在看

映射的类型：：（a->b）->[a]->[b]

，这个函数的形状让我想知道，我们是否能看到列表形成操作符[]遵守正常模态逻辑（例如，T，S4，S5，b）的各种公理，因为我们似乎至少有正常模态逻辑的K公理，带有

[（a->b）]->[a]->[b]

这就引出了我的问题：Haskell中是否有熟悉的、有趣的运算符或函子，它们具有某种模态运算符的语法，并且遵守普通模态逻辑（即K、T、S4、S5和B）的公理

这个问题可以更尖锐、更具体。考虑一个运算符<代码> L>代码>及其双<代码> m <代码>。现在的问题是：Haskell中是否有熟悉的、有趣的运算符具有以下某些属性：

（1）

L（a->b）->La->Lb

（2）

La->a

（3）

Ma->L（Ma）

（4）

La->L（La）

（5）

a->L（ma）

看到一些好的例子会很有趣

我想到了一个可能的例子，但最好知道我是否正确：用

L

as

not

和

M

as

not

进行双重否定翻译。此翻译将每个公式

a

转换为其双重否定翻译

（a->⊥) -> ⊥并且，至关重要的是，验证了公理（1）-（4），但没有验证公理（5）。我在这里问了一个问题，似乎双重否定转换可以通过延续单子来模拟，内函子将每个公式
a
转换为其双重否定转换
（a->⊥) -> ⊥。Derek Elkins注意到存在两个双否定翻译，通过Curry Howard同构对应于不同的延续传递样式转换，例如Kolmogorov对应于按名称调用CPS转换

也许还有其他操作可以通过Haskell在延续monad中完成，它可以验证公理（1）-（5）


（仅排除一个例子：所谓的Lax逻辑和Haskell中的单子之间有着明确的关系，返回操作遵循该逻辑的模态运算符（即内函子）的定律）.我对这些例子不太感兴趣，但对Haskell算子的例子感兴趣，它们遵循经典正规模态逻辑中模态算子的一些公理）
初步说明：我很抱歉在回答这个问题时花了大量时间谈论命题松散逻辑，就这个问题而言，你对这个主题并不太感兴趣。无论如何，我觉得这个主题值得更广泛地接触——谢谢你让我意识到这一点


命题lax逻辑（PLL）中的模态算子是Monad类型构造函数的Curry-Howard对应

DT: x -> D x
D4: D (D x) -> D x
DF: (x -> y) -> D x -> D y

…以及
返回
、
加入
和
fmap
的类型

Valeria de Paiva的许多论文讨论了直觉模态逻辑，特别是PLL。这里关于PLL的评论主要基于。有趣的是，这篇论文证明了PLL没有最初看起来那么奇怪（参见：“作为模态逻辑，它是特殊的，因为它具有单一模态运算符[…]从CS4开始，直觉主义S4的一个版本，没有在析取上的可能性分布

B stands for box, and D for diamond

BK: B (x -> y) -> (B x -> B y)
BT: B x -> x
B4: B x -> B (B x)

DK: B (x -> y) -> (D x -> D y)
DT: x -> D x
D4: B (B x) -> B x

…将
x->bx
添加到它会导致
B
变得微不足道（或者，用哈斯克尔的话说，
Identity
），将逻辑简化为PLL。因此，PLL可以被视为直觉S4变体的特例。此外，它将PLL的
D
框定为一个类似可能性的运算符。如果我们将
D
作为Haskell
Monad
s的对应物，这在直觉上是很有吸引力的，后者通常确实具有可能性的味道（考虑
可能是整数
——“这里可能有一个
整数”
——或者
IO整数
——“当程序执行时，我将得到一个
整数”）


其他一些可能性：


乍一看，使
D
琐碎的对称动作似乎让我们找到了非常像
ComonadApply
的东西。我说“非常像”很大程度上是因为Haskell
函子
s的函数强度，问题是
x/\B y->B（x/\y）
如果您正在寻找一种传统的必要性模式，那么这是一件很尴尬的事情

Kenneth Foner的（感谢dfeuer的参考）致力于在Haskell中表达直觉K4，涵盖了过程中的一些困难（包括上述功能强度问题）

马特·帕森斯（Matt Parsons）的《直觉主义S5》以哈斯凯尔为导向，最初由汤姆·墨菲七世（Tom Murphy VII）从分布式计算的角度对其进行了解释：
Bx
作为
x
——产生可以在网络上任何地方运行的计算，以及
Dx
作为
x
某个地方的地址

时态逻辑可以通过Curry Howard与函数式反应式编程（FRP）相关联。关于起点的建议包括，以及

我不知道你的问题是什么，但是
[a->b]->[a]->[b]
是
[]
的类型，专门用于
应用程序的
[]
实例。我们有
（）：[a->b]->[a]->[b]
，也有
（）：（e->（a->（b））->（e->（e->a）->b）->（e->b）
这是著名的K组合器。可能只是巧合，他们共享K名称，thoug