Image processing 霍夫变换方程

我想知道为什么Hough变换使用

rho=xcos（θ）+ysin（θ）

表示直线

（y=mx+b）

。我试图解决这个问题（并就这个问题进行了讨论），但找不到一种方法从另一个中推导出一个

有人知道如何从另一个派生出一个吗

---

提前谢谢。

每对

rho，theta

与给定直线的

x，y

对相关，因为从原点角度

theta

处的距离

rho

将您置于直线上的

x，y

坐标处

---

使用

rho，θ

方程代替

y=mx+b

，这样可以将

rho，θ

值序列放入方程中，而不会出现斜率未定义（即直线垂直）的

y=mx+b

方法产生的计算问题这只是从线性坐标系到旋转坐标系的变换。维基百科的文章中概述了原因：

在Hough变换中，一个主要的想法是考虑直线的特性，而不是像点（x1，y1），（x2，y2）等，而是在其参数方面，即斜率参数m和截距参数b。基于这一事实，直线y=mx+b可以表示为参数空间中的点（b，m）。然而，人们面临的问题是，垂直线引起参数m和b的无界值。因此，出于计算原因，对于Hough变换中的直线，最好使用一对不同的参数，表示为r和θ（θ）

要在两者之间进行转换，请使用方程

y=-（cos（θ）/sin（θ））x+r/sin（θ）

。因此

m=-（cos（θ）/sin（θ））

和

b=r/sin（θ）

。当

sin（θ）=0

或

theta=0

时，这些明显会发生故障，这就是为什么首选旋转坐标系（具有无限斜率的直线没有任何问题）。

推导：

方程式

x/a+y/b=1

：

• 定义一条线
• 具有x截距=a
• 具有y截距=b

从三角学中，回想一下按角度

t旋转的光线如何根据
（角度=t，半径=1）->（x=cos（t），y=sin（t））投射到x轴和y轴上。
*


在标记点处绘制切线。三角学（甚至是具有类似三角形的几何）告诉我们切线在
x=1/cos（t）
，
y=1/sin（t）
处相交。因此，距离1远的线a将具有
a=1/cos（t）
和
b=1/sin（t）
，因此由
x/（1/cos（t））+y/（1/sin（t））=1
来描述

。。。它就是cos（t）x+sin（t）y=rho

其中

rho=1

您可以看到，

rho

对应于直线距离原点的距离（或者通过玩弄等式，或者注意到这里的乘法只是按相同的量缩放所有值，从而有效地重新缩放网格）

---

---

*请参见，以获取参考

极坐标系是二维坐标系，它有一个称为极的参考点（如原点）和一条从极到极的线称为极轴。极坐标系中的每个点表示为（rho，θ），其中“rho”是极点（原点）与点之间的距离，“θ”是极轴与连接极点与点的线之间的角度。看

极坐标（rho，θ）可以使用以下三角方程转换为笛卡尔坐标（x，y）

x = rho cos theta       ----(1) 
y = rho sin theta       ----(2)

有关更多信息，请参阅

我们如何得到上述方程

方程式使用直角的概念（三角学）

请看图片

现在让我们推导笛卡尔坐标（x，y）和极坐标（rho，θ）之间的关系

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我得到了其余的，但我不知道m=-（cos（θ）/sin（θ））和b=r/sin（θ）。。。（很难为情地说），其他一切都是有意义的，不是吗？

sin（θ）/cos（θ）

，因为斜率是从原点到

y=mx+b

直线的斜率。但是，您不是，并且

y=mx+b

线的斜率等于从该线到原点的切线的负倒数。如果你看ninjagecko的答案，你会发现这意味着

m=-（cos（θ）/sin（θ））

。感谢你的解释。即使代码可以解决这个问题，也请提供一些额外的解释。对于评论中的人：这不是代码，而是问题中所问方程的推导。给答案的作者：如果你在答案的开头加上一点文字，你将避免人们误解你的答案，并可能使答案更加有用。谢谢你的建议。添加文本。每个（ρ，θ）对与一系列（x，y）对相关，因为它描述一条线。就像（m，b）对描述一系列（x，y）对一样。它不是一对（x，y）的。我真的不记得回答过这个问题

cos theta = adjacent-side/hypotenuse = x/rho,  thus we get (1)     
sin theta = opposite-side/hypotenuse = y/rho,  thus we get (2)
and Pythagorean theorem says,
hypotenuse^2 = adjacent side ^2 + opposite side^2, so
rho^2 = x^2 + y^2       ----(3)

rho^2 = x^2 + y^2       ---- from (3)
rho^2 = x*x  +  y*y
rho^2 = x(rho cos theta) + y (rho sin theta)   ---- from (1) and (2)  
rho^2 = rho(x cos theta + y sin theta)
rho = x cos theta + y sin theta