Isabelle 如何使typedef类型从其类型类的母类型继承运算符

回答后续问题后发布

Brian给出了一个答案，并建议使用提升和转移。然而，我找不到足够的关于举重和转移的教程信息，不知道如何调整他的答案来完成我需要做的事情

在这里，我在黑暗中工作，并使用给出的答案作为即插即用模板来问这个后续问题

我的初始代码中的命令，

typedef trivAlg=“{x:：sT.x=emS}”

为我提供了一个新类型，它是母类型

sT

的子集

我有我的成员操作符

consts inP:：“sT=>sT=>bool”

，因此在我关于提升和转移的天真观点中，因为我的

monoid\u add

0被定义为常量

emS:：sT

，我可以这样说，

（emS:：sT）inP emS

，我想做这样的事情：

theorem "~((0::trivAlg) inP 0)"

lift_definition inP_trivAlg :: "trivAlg => trivAlg => bool"
  is "% x y. (x inP y)" 
  by simp

theorem "~((0::trivAlg) inP 0)"

theorem "(emS::trivAlg) = emS"

consts emS :: "sT"
consts inP :: "sT => sT => bool"
consts geU :: "sT => sT"

lift_definition in_P_trivAlg :: "trivAlg => trivAlg => bool"
  is "in_P :: sT => sT => bool" 
  by simp

theorem "~(in_P_trivAlg 0 0)"
  by(metis 
    Ax_em 
    in_P_trivAlg.rep_eq 
    zero_trivAlg.rep_eq)

因此，我尝试使用提升让我的操作员

inP

使用类型

trivAlg

，如下所示：

theorem "~((0::trivAlg) inP 0)"

lift_definition inP_trivAlg :: "trivAlg => trivAlg => bool"
  is "% x y. (x inP y)" 
  by simp

theorem "~((0::trivAlg) inP 0)"

theorem "(emS::trivAlg) = emS"

consts emS :: "sT"
consts inP :: "sT => sT => bool"
consts geU :: "sT => sT"

lift_definition in_P_trivAlg :: "trivAlg => trivAlg => bool"
  is "in_P :: sT => sT => bool" 
  by simp

theorem "~(in_P_trivAlg 0 0)"
  by(metis 
    Ax_em 
    in_P_trivAlg.rep_eq 
    zero_trivAlg.rep_eq)

但是，我使用的

定理

与类型冲突，因为我使用的类型

sT

与

trivAlg

不兼容

如果可以添加答案，向我展示如何让我的

inP

使用type

trivAlg

，我将不胜感激。或者，也许我太离谱了

对（原始）问题的准备

我有我的类型

sT

，它表示“一切都是一个集合”。到目前为止，我所有的常量和运算符都是用单一类型

sT

定义的。例如，my empty set、membership运算符和union运算符的定义如下：

theorem "~((0::trivAlg) inP 0)"

lift_definition inP_trivAlg :: "trivAlg => trivAlg => bool"
  is "% x y. (x inP y)" 
  by simp

theorem "~((0::trivAlg) inP 0)"

theorem "(emS::trivAlg) = emS"

consts emS :: "sT"
consts inP :: "sT => sT => bool"
consts geU :: "sT => sT"

lift_definition in_P_trivAlg :: "trivAlg => trivAlg => bool"
  is "in_P :: sT => sT => bool" 
  by simp

theorem "~(in_P_trivAlg 0 0)"
  by(metis 
    Ax_em 
    in_P_trivAlg.rep_eq 
    zero_trivAlg.rep_eq)

我现在正在做一些早期调查，看看是否可以将我的

sT

与中的广义组联系起来

从中，我试图从组的第4.2、4.3和4.4节以及Nat的第15.2和15.3节中获取示例

在这里，我几乎要回答我的问题了，但我不知道我是否在问一个聪明的问题。我想我知道的是，解决方案可能只使用区域设置、子区域设置和解释，而不是使用类型类

我一直在研究和，所以我知道区域设置和类是相互交织的。我还一直在研究如何在那里使用语言环境、子语言环境和解释

问题

我的问题是，对于我下面的简单代数结构，

trivAlg

，这是一个用

typedef

定义的新类型，我如何设置类型类，以便我可以使用我的常量，例如上面列出的

emS

、

inP

和

geU

，以及

trivAlg

类型的元素

在我列出下面的代码之后，我问了一些关于中特定代码行的问题

代码

typedef trivAlg = "{x::sT. x = emS}"
  by auto

instantiation trivAlg :: zero
begin
definition trivAlg_zero:
  "0 = Abs_trivAlg emS"
instance ..
end

instantiation trivAlg :: monoid_add
begin
definition plus_trivAlg:
  "m + n = (Abs_trivAlg emS)" 
instance proof
  fix n m q :: trivAlg
  show "(n + m) + q = n + (m + q)"
    by(metis plus_trivAlg)
  show "0 + n = n"
    apply(induct n) apply(auto)
    by(metis plus_trivAlg)
  show "n + 0  = n"
    apply(induct n) apply(auto)
    by(metis plus_trivAlg)
qed
end

theorem
  "((n::trivAlg) + m) + q = n + (m + q)"
  by(metis plus_trivAlg)

theorem
  "((0::trivAlg) + 0) = 0"
  by(metis monoid_add_class.add.left_neutral)

关于小组的后续问题。你的

在Groups.thy中的第151到155行上，有以下代码：

class semigroup_add = plus +
  assumes add_assoc [algebra_simps, field_simps]: "(a + b) + c = a + (b + c)"

sublocale semigroup_add < add!: semigroup plus proof
qed (fact add_assoc) 

类半群+ 假设加法运算[代数运算，字段运算]：（a+b）+c=a+（b+c） 子局部半群_add 没有一个文档教我如何使用类、区域设置、子区域设置和解释，所以我不知道这到底告诉了我什么

---

如果我想使用Groups.thy中的

半组_add

，我可以选择将其用作类型类还是区域设置

要获得trivAlg类型的相应操作，最简单的方法可能是使用Isabelle的提升包；然后可以使用传输包来证明类实例。以下是一个例子：

typedef trivAlg = "{x::sT. x = emS}"
  by auto

setup_lifting type_definition_trivAlg

instantiation trivAlg :: zero
begin
lift_definition zero_trivAlg :: "trivAlg" is "emS" .
instance ..
end

instantiation trivAlg :: monoid_add
begin
lift_definition plus_trivAlg :: "trivAlg => trivAlg => trivAlg"
  is "% x y. emS"
by simp

instance proof
  fix n m q :: trivAlg
  show "(n + m) + q = n + (m + q)"
    by transfer simp
  show "0 + n = n"
    by transfer simp
  show "n + 0  = n"
    by transfer simp
qed
end

---

如果我不知道语法意味着什么，简单的事情会让我丧命，而学习Isabelle/HOL的大部分内容是“长时间盯着多个示例”，这并不是说Isabelle相对于其他证明助手没有太多文档

在这里，我结束了关于如何实际使用Brian给我的东西的问题

我的

inP

实际上是p:：sT=>sT=>bool中函数

的二进制表示法，这就是我想输入
trivAlg
，尽管我不确定刚才是否正确使用了术语“lift”

从中，我找到了一个显示提升HOL
union
运算符的示例。类似地，我将
放入\u P
中，如下所示：

theorem "~((0::trivAlg) inP 0)"

lift_definition inP_trivAlg :: "trivAlg => trivAlg => bool"
  is "% x y. (x inP y)" 
  by simp

theorem "~((0::trivAlg) inP 0)"

theorem "(emS::trivAlg) = emS"

consts emS :: "sT"
consts inP :: "sT => sT => bool"
consts geU :: "sT => sT"

lift_definition in_P_trivAlg :: "trivAlg => trivAlg => bool"
  is "in_P :: sT => sT => bool" 
  by simp

theorem "~(in_P_trivAlg 0 0)"
  by(metis 
    Ax_em 
    in_P_trivAlg.rep_eq 
    zero_trivAlg.rep_eq)

在我以前的尝试和错误尝试中，我一直在使用我的
inP
，这是唯一的符号，它没有陷入
lift\u定义中，它引入了一个全新的功能。这些事情最终发生在我身上，我没有“尝试和错误”，而是通过智能地使用_P_trivAlg
中的函数
，获得了“尝试和成功”：

theorem "~((0::trivAlg) inP 0)"

lift_definition inP_trivAlg :: "trivAlg => trivAlg => bool"
  is "% x y. (x inP y)" 
  by simp

theorem "~((0::trivAlg) inP 0)"

theorem "(emS::trivAlg) = emS"

consts emS :: "sT"
consts inP :: "sT => sT => bool"
consts geU :: "sT => sT"

lift_definition in_P_trivAlg :: "trivAlg => trivAlg => bool"
  is "in_P :: sT => sT => bool" 
  by simp

theorem "~(in_P_trivAlg 0 0)"
  by(metis 
    Ax_em 
    in_P_trivAlg.rep_eq 
    zero_trivAlg.rep_eq)

这表示空集不包含自身。这很好，并且告诉我，考虑到0已经被定义为
emS
，这是用axiom
Ax_em
定义的，不包含任何元素，我的思路是正确的

我现在需要弄清楚如何重载我的会员资格操作符符号
\\\iota>
。重载符号直到现在都不重要，因为我需要避免重载大多数标准符号，比如
\

看起来我需要重新命名定理，比如p_trivAlg.rep_eq中的
，我刚刚从中得到了答案

从中，我现在看到使用
lemmas
命令进行了大量重命名，例如

text {* Recover original theorem names *}

lemmas scaleR_left_commute = real_vector.scale_left_commute
lemmas scaleR_zero_left = real_vector.scale_zero_left
...

如果没有我刚才提供的Stackoveflow答案的链接，该代码的用途对我来说毫无意义。
提升和转移看起来很有希望，因为我喜欢
typedef
的想法，它可以轻松地获得我类型的新子集
sT
。我留下了一个后续问题，如果你有时间回答的话。我会的