Isabelle终止包含自身映射的数据类型上的函数

在Isabelle中是否可以定义终止递归函数

f

where

• f

  有一个

  t

  类型的单一参数，因此

  t

  类型的值可能包含到

  t

  类型的值的映射，以及

• f

  对此类映射范围内的所有元素执行递归调用

例如在理论上考虑数据类型<代码> TIE < /代码>：

我尝试了一个简单的函数

height

，用于计算尝试的高度（有有限多个输出边）：

在这里，

字典顺序

不足以证明函数是终止的，但到目前为止，我还无法对

trie

（终止）制定任何本身不需要类似递归的度量。 在此我必须承认，我不确定我是否正确理解了Isabelle/HOL中的数据类型（即，上述定义的

trie

是否始终具有有限的高度）

---

是否有可能表明高度终止？

根据Peter Zeller的评论，我能够通过在定义中添加

（domintros）

来证明高度终止，然后使用事实

height.domintros

对

trie进行归纳，导致以下终止证明：

function (domintros) height :: "'a trie ⇒ nat" where
  "height (Nd _ edges) = (if dom edges = Set.empty ∨ ¬ finite (dom edges)
    then 0
    else 1 + Max (height ` ran edges))"
  by pat_completeness auto
termination apply auto
proof -
  fix x :: "'a trie"
  show "height_dom x"
  proof (induction)
    case (Nd b edges)

    have "(⋀x. x ∈ ran edges ⟹ height_dom x)"
    proof -
      fix x assume "x ∈ ran edges" 
      then have "∃a. edges a = Some x"
        unfolding ran_def by blast
      then have "∃a. Some x = edges a"
        by (metis (no_types))
      then have "Some x ∈ range edges"
        by blast
      then show "height_dom x"
        using Nd by auto
    qed
    then show ?case
      using height.domintros by blast
  qed
qed

您是否尝试过在声明中添加
函数（domintros）
选项，然后使用归纳法进行终止证明？非常感谢，这确实足以证明终止。你想提交你的评论作为答案，还是我可以根据你的评论自己回答这个问题？如果你能自己添加答案，包括工作终止证明，那就太好了。
theory Scratch
  imports "HOL-Data_Structures.Trie_Fun"
begin

function height :: "'a trie ⇒ nat" where
  "height (Nd _ edges) = (if dom edges = Set.empty ∨ ¬ finite (dom edges)
    then 0
    else 1 + Max (height ` ran edges))"
  by pat_completeness auto
termination (* ??? *)

end

function (domintros) height :: "'a trie ⇒ nat" where
  "height (Nd _ edges) = (if dom edges = Set.empty ∨ ¬ finite (dom edges)
    then 0
    else 1 + Max (height ` ran edges))"
  by pat_completeness auto
termination apply auto
proof -
  fix x :: "'a trie"
  show "height_dom x"
  proof (induction)
    case (Nd b edges)

    have "(⋀x. x ∈ ran edges ⟹ height_dom x)"
    proof -
      fix x assume "x ∈ ran edges" 
      then have "∃a. edges a = Some x"
        unfolding ran_def by blast
      then have "∃a. Some x = edges a"
        by (metis (no_types))
      then have "Some x ∈ range edges"
        by blast
      then show "height_dom x"
        using Nd by auto
    qed
    then show ?case
      using height.domintros by blast
  qed
qed