Isabelle/Isar中的仿函子结构

数学中有一个小定理：

假设u不是A的元素，v不是B的元素，f是从A到B的内射函数。设A'=A并集{u}和B'=B并集{v}，如果x在A中，则通过g（x）=f（x）定义g:A'->B'，g（u）=v。那么g也是内射的

如果我编写类似OCaml的代码，我会将A和B表示为类型，将f表示为A->B函数，类似于

module type Q = 
  sig
   type 'a
   type 'b
   val f: 'a -> 'b
  end

definition injective :: "('a  ⇒ 'b)  ⇒ bool"
  where "injective f  ⟷ ( ∀ P Q.  (f(P) = f(Q)) ⟷ (P = Q))" 

proposition: "injective f ⟹ injective (Q(f))"

然后定义一个函子

module Extend (M : Q) : Q = 
  struct
    type a = OrdinaryA of M.a | ExoticA
    type b = OrdinaryB of M.b | ExoticB
    let f x = match x with
        OrdinaryA t -> OrdinaryB ( M.f t)
      | Exotic A -> ExoticB
  end;;

我的定理是，如果

Q.f

是内射的，那么

（扩展Q.f

）也是内射的，我希望我的语法或多或少是正确的

我想在伊莎贝尔/伊萨尔身上做同样的事情。通常，这意味着写一些

module type Q = 
  sig
   type 'a
   type 'b
   val f: 'a -> 'b
  end

definition injective :: "('a  ⇒ 'b)  ⇒ bool"
  where "injective f  ⟷ ( ∀ P Q.  (f(P) = f(Q)) ⟷ (P = Q))" 

proposition: "injective f ⟹ injective (Q(f))"

---

而

Q

是。。。某物我不知道如何在Isabelle中创建一个类似于OCaml中functor

Q

的操作，该操作创建了两个新的数据类型以及它们之间的函数。注入能力的证明似乎相当简单——仅仅是四种情况的分离。但是我想帮助定义我调用的新函数

qf

，给定函数

f

这里有一个解决方案。我试图为函数

Q

做一个“定义”，但做不到；相反，创建一个常量

Q

（与

map

）让我陈述并证明这个定理：

theory Extensions
  imports Main
begin
text ‹We show that if we have f: 'a → 'b that's injective, and we extend 
both the domain and codomain types by a new element, and extend f in the 
obvious way, then the resulting function is still injective.›
  definition injective :: "('a  ⇒ 'b)  ⇒ bool"
    where "injective f  ⟷ ( ∀ P Q.  (f(P) = f(Q)) ⟷ (P = Q))" 

datatype 'a extension = Ordinary 'a | Exotic

fun Q ::  "('a  ⇒ 'b) ⇒ (('a extension)  ⇒ ('b extension))"  where 
   "Q f (Ordinary u) = Ordinary (f u)" |
   "Q f (Exotic) = Exotic"

lemma "⟦injective f⟧ ⟹ injective (Q f)"
  by (smt Q.elims extension.distinct(1) extension.inject injective_def)

end

---

我想说两句话。1：标准库中存在一个函数，其行为与您答案中的函数

内射

相同（请参见理论

HOL/Fun

中的函数

inj

）。2：通常情况下，使用理论中的类型构造函数

set

，对于与您问题中的定理类似的定理的陈述更为自然。这将允许您在一个任意类型τ的上下文中陈述定理。当然，我不确定你的申请是什么。因此，我可能是错的。我认为在某个地方有一个“内射”，但它很容易编写，对于这个简单的例子，它将所有东西放在一个地方。至于“设置”。。。事实证明，在我工作的大环境中使用它是错误的，而这个“扩展”几乎完全正确。实际情况，仅供参考：通过添加“无穷远处的点”，从仿射平面构造投影平面。