Isabelle 为什么赢了'；伊莎贝尔简化了我的身体；如果“然后”则“其他”；构造？_Isabelle

Isabelle 为什么赢了'；伊莎贝尔简化了我的身体；如果“然后”则“其他”；构造？

isabelle

Isabelle 为什么赢了'；伊莎贝尔简化了我的身体；如果“然后”则“其他”；构造？,isabelle,Isabelle,我有以下Isabelle目标： lemma "⟦ if foo then a ≠ a else b ≠ b ⟧ ⟹ False" 尽管目标很简单，但是没有一种战术能在目标上取得任何进展。simp、fast、clarsimp、blast、fastforce 为什么Isabelle不简化if构造的主体，以便≠ a和b≠ b“变得False，从而解决目标？if\u-weak\u-cong一致性规则默认情况下，Isabelle包含一组影响简化发生位置的“一致性规则”。特别是，默认的一致性规则是if_

我有以下Isabelle目标：

lemma "⟦ if foo then a ≠ a else b ≠ b ⟧ ⟹ False"

尽管目标很简单，但是没有一种战术能在目标上取得任何进展。

simp

、

fast

、

clarsimp

、

blast

、

fastforce

为什么Isabelle不简化

if

构造的主体，以便≠ a和b≠ b“变得

False

，从而解决目标？

if\u-weak\u-cong一致性规则默认情况下，Isabelle包含一组影响简化发生位置的“一致性规则”。特别是，默认的一致性规则是

if_weak_cong

，如下所示：

b = c ⟹ (if b then x else y) = (if c then x else y)

此一致性规则告诉简化程序简化

if

语句（即

b=c

）的条件，但决不尝试简化

if

语句的主体

您可以使用以下方法禁用一致性规则：

apply (simp cong del: if_weak_cong)

或者用另一个（更强大的）一致性规则覆盖它：

apply (simp cong: if_cong)

这两个问题都将解决上述引理

为什么

如果“弱”cong

在默认cong集合中另一个合理的问题可能是：“如果_weak _cong会导致上述问题，为什么

会在默认同余集中？”
一个动机是防止简化器无限地展开递归函数，如以下情况：
fun fact where
    "fact (n :: nat) = (if n = 0 then 1 else (n * fact (n - 1)))"

在这种情况下,
lemma "fact 3 = 6"
  by simp

解决目标，同时
lemma "fact 3 = 6"
  by (simp cong del: if_weak_cong)

将简化器发送到一个循环中，因为fact
定义的右侧不断展开
第二种情况往往比原始问题中的情况发生得更频繁，这促使if\u weak\u cong
成为默认情况。
在包含if\then\else>的证明中取得进展的另一种自然方式是对条件进行案例分析，例如
lemma "(if foo then a ~= a else b ~= b) ==> False"
  by (cases foo) simp_all

或者，如果foo
不是一个自由变量，而是由最外层的元级通用量词绑定（在apply脚本中经常出现这种情况）：
不幸的是，如果foo
被另一种量词绑定，例如
lemma "ALL foo. (if foo then a ~= a else b ~= b) ==> False"

或者通过嵌套假设中的元级通用量词，例如
lemma "True ==> (!!foo. (if foo then a ~= a else b ~= b)) ==> False"

案例
和案例
均不适用
注意：另请参见案例
和案例一致性规则之间的（轻微）差异
正如在其他答案中已经指出的那样，if\u weak\u cong
同余规则阻止简化程序简化if语句的分支。在这个答案中，我想详细介绍一下简化器对同余规则的使用
有关更多信息，请参见中关于简化器的章节（特别是第9.3.2节）
同余规则控制简化器如何降为术语。它们可以用来限制重写并提供额外的假设。默认情况下，如果简化程序遇到函数应用程序s t
，它将下降到s
和t
，将它们重写为s'
和t'
，然后再尝试重写生成的术语s't'

对于每个常量（或变量）c，可以注册一个同余规则。默认情况下，规则if\u-weak\u-cong
注册为常量if
（这是if…then…else…
语法的基础）：
这是这样写的：“如果你遇到一个术语If？b那么？x else？y
，b
可以简化为？c
，然后将If？b那么？x else？y
重写为If？c那么？x else？y
”。由于一致性规则取代了默认策略，因此禁止对？x
和？y
进行任何重写
强同余规则if_cong
是if_cong
的另一种选择：
⟦ ?b = ?c; (?c ⟹ ?x = ?u); (¬ ?c ⟹ ?y = ?v) ⟧
    ⟹ (if ?b then ?x else ?y) = (if ?c then ?u else ?v)

注意两个假设（？c⟹ ?x=？u）
和（？-c⟹ ?y=？v）
：它们告诉简化程序，在简化if的左（或右）分支时，可能会假定条件成立（或不成立）
作为一个例子，考虑简化器在目标上的行为。
if foo ∨ False then ¬foo ∨ False else foo ⟹ False

假设我们对foo
一无所知。那么

apply simp
：使用规则if_weak_cong，这将简化为
如果是foo那么-foo∨ 假艾尔斯福⟹ False
，仅重写条件
apply（simp-cong-del:if\u-weak\u-cong）：如果没有任何一致性规则，这将是
简化为
如果是foo，那么-foo，else foo⟹ False
，因为条件和分支被重写
apply（simp-cong:if-cong-del:if-cancel）
：使用规则if-cong，此目标将
简化为
如果为foo，则为False，否则为False⟹ False
：条件foo∨ False将被删除
重写为foo。对于这两个分支，简化器现在重写
foo⟹ 埃福∨ 错误
和-foo⟹ 福∨ False，这两个值显然都重写为
错
（如果取消，我会删除，这通常会完全解决剩余目标）

拆分规则
除了案例分析和一致性规则之外，还有第三种方法可以通过简化器来解决这个问题：拆分器。拆分器允许简化器自己执行有限形式的案例分析。只有当术语本身无法进一步简化时（拆分案例很容易导致目标爆炸），才可以运行它
引理split\u if\u asm
指示拆分器拆分假设中的if
：
lemma "⟦ if foo then a ≠ a else b ≠ b ⟧ ⟹ False"
  by (simp split: split_if_asm)

可以使用split
方法执行单步拆分：
lemma "⟦ if foo then a ≠ a else b ≠ b ⟧ ⟹ False"
  apply (split split_if_asm)
  apply simp_all
  done

请注意，在结论中拆分if
的规则（split_if
）是默认设置的一部分
顺便说一句，每个
lemma "⟦ if foo then a ≠ a else b ≠ b ⟧ ⟹ False"
  by (simp split: split_if_asm)

lemma "⟦ if foo then a ≠ a else b ≠ b ⟧ ⟹ False"
  apply (split split_if_asm)
  apply simp_all
  done