Isabelle 伊莎贝尔的双重功能

我试图通过教程学习Isabelle/HOL。我对双重功能的练习有问题。我是这样定义的：

fun double :: "nat ⇒ nat" where 
"double 0 = add 0 0" |
"double (Suc m) = Suc(Suc (double m))"

但在我的定理中，当试图证明double m=加法m时：

theorem add_d [simp] : "double x = add x x"
apply(induction x)
apply(auto)
done

---

应用（自动）永远不会被计算（它的背景是粉红色（？）。同样的练习要求证明add的交换性和结合性，这很有效。我将Isabelle2014与默认（Jedit）IDE一起使用。

在您的注释中的代码中，许多定理都具有

[simp]

属性，告诉Isabelle将它们添加到simpset中。但是，其中一些不适合作为重写规则（由

simp

和

auto

使用），因为它们导致一个术语，可以再次应用相同的规则，从而导致无限循环。从simpset中删除有问题的定理可以实现以下目的：

theorem add_d: "double x = add x x"
  apply (induction x)
  apply (auto simp del: add_zero)
done

但更好的解决方案是首先避免将此类定理添加到simpset，例如从其声明中删除

[simp]

属性：

lemma add_zero: "add x 0 = add 0 x"
  apply (induction x)
  apply (auto)
done

之后，

add\u d

不需要

simp del

部分。但可能需要明确告知其他一些定理才能使用此特定规则，例如：

theorem add_com: "add x y = add y x"
  apply (induction x)
  apply (auto simp add: add_zero)
done

---

请注意，与您的代码相比，

[simp]

属性再次被删除，以避免在其他地方使用

add\u com

时循环重写。

虽然Alexander关于simp规则的建议是合理的，但让我给出一些进一步的评论

首先，在您对

double

的定义中，我将用

0

替换

add0

。一般建议：与复杂表达式相比，更喜欢简单表达式

其次，Isabelle的简化器实际上“足够聪明”，可以在不循环的情况下处理AC重写（即结合性和交换性），即两个引理

lemma add_assoc [simp]:
  "add (add x y) z = add x (add y z)"

及

与simp规则一样好（即，您可以保留

[simp]

属性）。你正在经历的循环的原因是你的引理

(*BAD*)
lemma add_zero [simp]:
  "add x 0 = add 0 x"

由于simpset中有它（Isabelle行话，指的是

simp

和

auto

等方法使用的所有简化规则集），因此允许无限派生：

add 0 0 = add 0 0 = add 0 0 = ...

我建议用

lemma add_zero [simp]:
  "add x 0 = x"

那么你所有的证明（只要它们以正确的顺序陈述）都应该是“自动”的

apply (induction ...)
apply auto
done

可以缩写为

by (induction ...) (auto)

---

我无法在伊莎贝尔的领导下重现这种行为。你能试着给出一个最小的完整示例，即一个完整的理论文件，其中只包含错误吗？下面是一个示例。问题在第31行，现在它工作了（将add2保留在simp类中）。似乎事实上我有一个无限循环。

by (induction ...) (auto)