计算阶乘n的时间复杂度是多少！使用Java'；s大整数

假设算法如下所示：

public static BigInteger getFactorial(int num) {
    BigInteger fact = BigInteger.valueOf(1);
    for (int i = 1; i <= num; i++)
        fact = fact.multiply(BigInteger.valueOf(i)); // ? time complexity
    return fact;
}

public静态biginger getFactorial（int num）{
BigInteger事实=BigInteger.valueOf（1）；
对于（int i=1；i而言，
fact
中包含的位数是
log（fact）
。
O（log（n！））==O（nlogn）
，因此
n！
中的位数与
nlogn
成比例增长。因为您的算法将值堆积到部分积上，而不会将它们拆分为较小的中间值（分治方式），我们可以断言，在计算
n！
时，其中一个被乘的数字将小于
n
。使用小学乘法，我们有
O（logn*nlogn）
时间将这些数字相乘，我们有
n-1
倍数，所以这是
O（n*logn*nlogn）==O(（nlogn）^2
。我确实认为这是小学乘法的一个严格上限，因为尽管开始乘法要小得多，后一半都大于
O（（n/2）log^2（n/2））
，其中有
（n/2）
，所以
O（（n/2）^2*log^2（n/2））==O（（nlogn）^2）

然而，
biginger
完全有可能使用Karatsuba乘法、Toom Cook乘法，甚至可能是Schönhage–Strassen算法。我不知道这些算法如何处理大小变化如此大的整数（
logn
vs
nlogn
），所以我不能给出一个严格的上界。我所能做的就是推测它将小于
O（n*F（nlogn））
，其中
F（x）
是使用特定算法乘以两个长度数
x
。
事实中的位数是
log（fact）
，而
O（log（n！）)==O（nlogn）
如前所述。因此，只需应用
biginger
使用的任何乘法算法即可。您好@DillonDavis，谢谢，如果biginger使用Karatsuba乘法，加上O（x**1.585），总复杂度是否为O（（nlogn）^1.585）？老实说，我不是100%确定。两个相乘的值甚至不接近相同的大小，因此时间可能小于
O（x**1.585）
，另一方面，我们进行
num
相乘，因此其中可能有另一个因子
n
。它肯定是
O（（n^2logn）^1.585）
，但很可能有一个更严格的上限。事实上，使用小学乘法，我们已经有了
O（logn*（nlogn））
，因为其中一个被乘法的数字最多是
num
（
n
），所以这本身就给出了
O（（nlogn）^2）
，这比我给你的另一个估计要好。好吧，Java的BigInteger乘法使用Karatsuba、Toom Cook 3路，但还没有Schönhage Strassen。当然还有小值的教科书。如果算法不是“除法和征服法”，那么你会不断地用一个“小”乘以一个快速增长的大数一个是SSSLLLOOWWW。@RudyVelthuis我同意你的最后一点，但是OP问的是factorial.correct的具体实现的时间复杂度。我只是想指出这种天真方法的缺陷。我想告诉你在Java.FWIW中使用哪些算法来乘以大整数。我刚刚意识到t如果其中一个数字低于阈值（并且上面的循环索引远低于阈值），将使用教科书，所以这里根本不使用Karatsuba等。只有教科书，除非你使用分治算法。@RudyVelthuis:我尝试了几种不同的方法来计算阶乘作为答案。安排事情有目的地利用更复杂的算法明显更快。@JamesKPolk关于我们能以多快的速度将素数筛选到
n
，使用平方运算（在
BigInteger
中的引擎盖下）进行求幂以更快地获得结果可能会更快。
    public BigInteger getFactorial2(long n) {
        return subFactorial(1, n);
    }
    private BigInteger subFactorial(long a, long b) {
        if ((b - a) < 10) {
            BigInteger res = BigInteger.ONE;
            for (long i = a; i <= b; i++) {
                res = res.multiply(BigInteger.valueOf(i));
            }
            return res;
        } else {
            long mid = a + (b - a) / 2;
            return subFactorial(a, mid).multiply(subFactorial(mid + 1, b));
        }
    }