Julia空间中张量积空间的快速Fourier变换

现在我使用FFTW包来获得一些我感兴趣的傅里叶变换。然而，我想知道是否已经有一个FFT包可以在向量空间中进行变换，该向量空间的形式为

kron（C2，Rn）

，其中

C2

表示2x2系统，

Rn

表示有兴趣获得傅里叶变换的“空间”子空间。换句话说，是否存在实现以下功能的例程：

kron(Id2x2, FFT)[kron(C2, Rn)] = kron(C2, FFT(Rn))

当然，我感兴趣的真正问题是“两粒子情况”，其中向量空间（希尔伯特空间）是

kron（kron（C2，Rn），kron（C2，Rn））

，因此在这种情况下，例程需要

kron（kron（Id2x2，FFT），kron（Id2x2，FFT））

注1：我没有试图解决部分跟踪的问题，但在我的情况下，这个选项可能根本不起作用，因为状态是稀疏的，也就是说，它可能是无效的

---

注2：注意（除非我错了）对于

kron（C2，Rn）

一个人可以做“两次”fft（在

C2

的每个扇区中一次）。然而，对于大型向量空间，这也可能是无效的。

这里有一个例子，我想你是在问这个问题

res

是通过FFT从

mat=kron（C2，Rn）

计算出来的，这是（正如您所说）一种浪费的方法，因为它沿着

k

维度的FFT是针对其他2×2维度中的每个维度重新进行的。但问题大概是，对乘积空间中的“纠缠”态——一般的

likemat=rand（8,2）

不能分解为因子

kron（likeC2，likeRn）

（相反，如果你真的只对“无纠缠”的产品状态感兴趣，那么你可能只需要处理它们的组件。与

kron

组合将永远是浪费。Kronecker.jl包在某些方面可能会有所帮助，但我认为它不知道

fft

）

这使用我的包来处理

kron

类操作；你也可以写下必要的

重塑自己

julia> C2 = [1 2; 3 4]; Rn = [1,10,0,0];

julia> mat = kron(C2,Rn)
8×2 Matrix{Int64}:
  1   2
 10  20
  0   0
  0   0
  3   4
 30  40
  0   0
  0   0

julia> using TensorCast, FFTW

# notation: kron is a reshape of a tensor product, to combine i & k

julia> kron(C2,Rn) == @cast out[(k,i),j] := C2[i,j] * Rn[k]
true

# reshape mat to put the index from Rn in its own dimension:

julia> @cast tri[k,i,j] := mat[(k,i),j]  (i in 1:2);

julia> summary(tri)
"4×2×2 Array{Int64, 3}"

# then fft(tri, 1) is the FFT along only that, reshape back:

julia> @cast res[(ktil,i),j] := fft(tri, 1)[ktil,i,j]
8×2 Matrix{ComplexF64}:
  11.0+0.0im    22.0+0.0im
   1.0-10.0im    2.0-20.0im
  -9.0+0.0im   -18.0+0.0im
   1.0+10.0im    2.0+20.0im
  33.0+0.0im    44.0+0.0im
   3.0-30.0im    4.0-40.0im
 -27.0+0.0im   -36.0+0.0im
   3.0+30.0im    4.0+40.0im

julia> res ≈ kron(C2, fft(Rn))
true

julia> res ≈ fft(mat, 1)
false

julia> fft(Rn)
4-element Vector{ComplexF64}:
 11.0 + 0.0im
  1.0 - 10.0im
 -9.0 + 0.0im
  1.0 + 10.0im

# if fft() understood the dims keyword, it could be tidier:

julia> _fft(x; dims) = fft(x, dims);

julia> @cast _res[(k,i),j] := _fft(k) mat[(k,i),j]  (i in 1:2);

julia> _res ≈ res
true

这就是我所认为的，人们总是需要重塑阵列以得到一个“矩阵”，进行fft，然后重塑回阵列的原始形式，对吗？