Julia中的二维曲线拟合

我在Julia中有一个数组

Z

，它表示二维高斯函数的图像。即，

Z[I，j]

是像素I，j处高斯的高度。我想确定高斯分布的参数（均值和协方差），大概是通过某种曲线拟合

我研究了各种拟合

Z

的方法：我首先尝试了

发行版

软件包，但它是为不同的情况设计的（随机选择的点）。然后我尝试了

LsqFit

包，但它似乎是为一维拟合量身定做的，因为当我尝试拟合二维数据时，它会抛出错误，而且我找不到任何文档来引导我找到解决方案

如何将高斯分布拟合到Julia中的2D数组

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最简单的方法是使用Optim.jl。下面是一个示例代码（它没有针对速度进行优化，但应该向您展示如何处理该问题）：

或者，您可以使用约束优化，例如：

using Distributions, JuMP, NLopt

true_d = MvNormal([1.0, 0.0], [2.0  1.0; 1.0 3.0])
const xr = -3:0.1:3
const yr = -3:0.1:3
const s = 5.0
const Z = [s * pdf(true_d, [x, y]) for x in xr, y in yr]

m = Model(solver=NLoptSolver(algorithm=:LD_MMA))

@variable(m, m1)
@variable(m, m2)
@variable(m, sig11 >= 0.001)
@variable(m, sig12)
@variable(m, sig22 >= 0.001)
@variable(m, sc >= 0.001)

function obj(m1, m2, sig11, sig12, sig22, sc)
    est_d = MvNormal([m1, m2], [sig11 sig12; sig12 sig22])
    ref_Z = [sc * pdf(est_d, [x, y]) for x in xr, y in yr]
    sum((a-b)^2 for (a,b) in zip(ref_Z, Z))
end

JuMP.register(m, :obj, 6, obj, autodiff=true)
@NLobjective(m, Min, obj(m1, m2, sig11, sig12, sig22, sc))
@NLconstraint(m, sig12*sig12 + 0.001 <= sig11*sig22)

setvalue(m1, 0.0)
setvalue(m2, 0.0)
setvalue(sig11, 1.0)
setvalue(sig12, 0.0)
setvalue(sig22, 1.0)
setvalue(sc, 1.0)

status = solve(m)
getvalue.([m1, m2, sig11, sig12, sig22, sc])

使用分布、跳转、NLopt
真d=MvNormal（[1.0,0.0]，[2.01.0；1.03.0]）
常数xr=-3:0.1:3
常数年=-3:0.1:3
常数s=5.0
常数Z=[s*pdf（真值[x，y]），表示x在xr中，y在yr中]
m=模型（解算器=NLoptSolver（算法=：LD_MMA））
@变量（m，m1）
@变量（m，m2）
@变量（m，sig11>=0.001）
@变量（m，sig12）
@变量（m，sig22>=0.001）
@变量（m，sc>=0.001）
功能obj（m1、m2、sig11、sig12、sig22、sc）
est_d=MvNormal（[m1，m2]，[sig11 sig12；sig12 sig22]）
ref_Z=[sc*pdf（est_d[x，y]），表示x在xr中，y在yr中]
总额（（a-b）^2（a，b）（参考Z，Z））
结束
跳转寄存器（m，：obj，6，obj，autodiff=true）
@n目标（m，Min，obj（m1，m2，sig11，sig12，sig22，sc））
@NLconstraint（m，sig12*sig12+0.001原则上，你有一个损失函数

loss(μ, Σ) = sum(dist(Z[i,j], N([x(i), y(j)], μ, Σ)) for i in Ri, j in Rj)

其中，
x
和
y
将索引转换为轴上的点（您需要知道网格距离和偏移位置），以及
Ri
和
Rj
索引范围。
dist
是您使用的距离度量，例如平方差

您应该能够通过将
μ
和
∑
打包到单个向量中，将其传递到优化器：

pack(μ, Σ) = [μ; vec(Σ)]
unpack(v) = @views v[1:N], reshape(v[N+1:end], N, N)
loss_packed(v) = loss(unpack(v)...)

在您的情况下，
N=2
（也许解包需要一些优化，以避免不必要的复制。）

另一件事是我们必须确保
∑
是正半定数（因此也是对称的）。一种方法是对压缩损失函数进行不同的参数化，并在一些下三角矩阵
L
上进行优化，使得
∑=L*L'
。在
N=2
的情况下，我们可以这样写

unpack(v) = v[1:2], LowerTriangular([v[3] zero(v[3]); v[4] v[5]])
loss_packed(v) = let (μ, L) = unpack(v)
    loss(μ, L * L')
end

（这当然容易进一步优化，例如将乘法直接扩展到
loss
）。另一种方法是将条件指定为优化器中的约束

要使Optimizer发挥作用，您可能必须获得
损耗的导数。\u packeted
。或者必须手动查找并计算它（通过选择
dist
），或者使用日志转换更容易（如果幸运的话，您可以找到将其简化为线性问题的方法…）。或者，您可以尝试找到一个进行自动微分的优化器。
一个很好的解释-这与我上面给出的实现一致。这个问题中唯一的附加问题是检查协方差矩阵是否有效。哦，是的，这是一个很好的观点。可以通过使用参数
s
和∑=S^2（对吗？）。这只会使微分更复杂。而且，
∑
也必须是半正定的。我认为西格玛有平方根意味着它是半正定的？还是我读错了？（我的线性代数可能有点生疏，我不得不承认…）这确实是一个很好的观点。您必须设置
的∑=S*转置
，然后最简单的方法是将
S
设置为三角形，这样您就有三个参数需要估计。您对LsqFit做了哪些尝试？当然可以做您想做的事情。
unpack(v) = v[1:2], LowerTriangular([v[3] zero(v[3]); v[4] v[5]])
loss_packed(v) = let (μ, L) = unpack(v)
    loss(μ, L * L')
end