利用Julia方法求解n维n点超空间非奇异方程组

朱莉娅有一个简单的问题：我想找到一个超平面通过n维n点的方程。有什么简单的方法可以做到这一点吗？我在解一个线性方程组，但它可能是非奇异的，在这种情况下，Julia返回一个错误。在Julia中，有没有已知的方法来求解参数或非奇异方程组

作为一个例子，考虑3D点〔1 0 0〕、〔0 0 1〕和〔1 0 1〕。 我想用y=0作为一个解，通过系数向量[0 1 0 0]

圣贤

a,b,c,d = var('a b c d')
f1 = a + d
f2 = a + c + d
f3 = c + d
solve([f1==0,f2==0,f3==0],a,b,c,d)

给予

---

非常感谢您的帮助。

我不确定我是否完全理解这个问题，但是如果我们使用系数矩阵和向量来表达上述问题，Julia允许

julia> [1 0 0 1; 1 0 1 1; 0 0 1 1] \ [0; 0; 0]
4-element Array{Float64,1}:
 -0.0
  0.0
 -0.0
 -0.0

得到一个特定的解决方案，并

julia> nullspace([1 0 0 1; 1 0 1 1; 0 0 1 1])
4×1 Array{Float64,2}:
  3.92523e-17
  1.0        
  0.0        
 -3.92523e-17

以获得解空间的基。（这里的数字问题有点不幸，理想情况下应该是[0；1；0；0]，当然。）如果我们把它理解为

[a；b；c；d]=[0；0；0；0]+r*[0；1；0；0]

，这基本上就是问题中给出的解决方案

---

如果矩阵秩不足，例如，因为点是共线的，您仍然可以从

\

中获得特定的解，但是

零空间

将返回一个包含多个向量的基。

一种方法是为点的协方差矩阵的最小特征值找到一个特征向量。不过，这在计算上有点繁重

我们可以用单位向量n和标量d来表示超平面。超平面的点是n'*x+d=0的x。对于点xn'*x+d是x到平面的距离。我们可以通过最小二乘法找到超平面：

如果X[]是k个给定点，我们寻求n，d最小化

Q(n,d) = Sum{ i | sqr( X[i]'*n+d)}/k

给定n，最小化d将是-Xbar.n，其中Xbar是X的平均值，因此我们不妨插入此d并最小化

Q(n) = Sum{ i | sqr( x[i]'*n)}/k = n'*C*n 

在哪里

该Q将通过n最小化，n是C的最小特征值的特征向量

因此，练习是：计算Xbar和C。对角化C（如U*D*U'所说），如果D的最小项在（i，i）处，选择U的第i列作为n），最后计算D为-n'*Xbar

---

请注意，这里唯一的困难是这里可能有许多最小的D值——例如，如果所有的点都位于n-2维平面上

这是用包裹吗？SymPy？在sage no中，它只是默认的解算器。在《朱莉娅》一书中，我读到了关于辛普森的故事，但我无法解出方程组。谢谢你的回答。我认为

nullspace

会起到作用，通过一些合适的取整，似乎机器错误比我想象的更不稳定。当空间的维数n增长（~=400）时，由于某种原因，n个非仿射相关点的维数为2的空空间是错误的。现在，解决这个问题的方法如下：这个超平面是单纯形的刻面支持。给定n维n中的n+1（仿射独立）点，是否有任何方法可以获得单纯形的H-表示，如polymake？我搜索了一下，但我不清楚cdd算法是否在julia中实现。。。谢谢你的帮助

Q(n) = Sum{ i | sqr( x[i]'*n)}/k = n'*C*n 

x[i] = X[i] - Xbar
C = Sum{ i | x[i]*x[i]'}/k -- the covariance of the data