Logic 在Coq中，如何对自然数使用mod算术（特别是Zplus_mod定理）？

我想应用这个定理：

其中，

a b n

应具有类型

Z

我的目标中有一个子表达式

（a+b）mod 3

，带有

ab:nat

rewrite Zplus_mod

给出错误

未找到匹配的子项

用（a:=a）重写Zplus_mod

会给出一个错误

“a”的类型为“nat”，而预期的类型为“Z”。

---

由于自然数也是整数，如何对nat参数使用Zplus_mod定理？

您不能应用此定理，因为在使用自然数的上下文中，符号

mod

指的是自然数

nat.modulo

上的函数，当您指的是

Z

类型的整数时，符号

mod

指的是

Z.modulo

使用

Search

命令，您可以专门搜索关于

Nat.modulo

和

（+\uu）%Nat

的定理，您将看到一些现有的定理实际上接近您的需要（

Nat.add_mod_idemp_l

和

Nat.add_mod_idemp_r

）

您还可以查找链接

Z.modulo

和

Nat.modulo

的定理。这将提供

modzmod

。但这会迫使您使用整数类型：

Require Import Arith ZArith.

Search Z.modulo Nat.modulo.

 (* The answer is :  
    mod_Zmod: forall n m, m <> 0 -> Z.of_nat (n mod m) = 
       (Z.of_nat n mod Z.of_nat m)%Z  *)

在生成的长列表中，相关定理是

Nat2Z.inj

，您 然后需要显示

Z.of_nat

如何与所有涉及的操作员交互。大多数定理要求

n

为非零，因此我将其作为一个条件添加。这是一个例子

Lemma example (a b n : nat) : 
   n <> 0 -> (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n.
Proof.
intro nn0.
apply Nat2Z.inj.
rewrite !mod_Zmod; auto.
rewrite !Nat2Z.inj_add.
rewrite !mod_Zmod; auto.
rewrite Zplus_mod.
easy.
Qed.

引理示例（abn:nat）： n0->（a+b）模n=（a模n+b模n）模n。 证据 简介nn0。 应用Nat2Z.inj。 重写mod_Zmod；汽车 重写Nat2Z.inj_添加。 重写mod_Zmod；汽车 重写Zplus_mod。 容易的 Qed。

---

这回答了你的问题，但坦率地说，我相信你最好使用引理

Nat.add_mod_idemp_l

和

Nat.add_mod_idemp_r

要快速回答这个问题，我们需要知道你需要和导入的模块到底是什么。因此，一个简单的工作示例会很好。

Search Z.of_nat "inj".

Lemma example (a b n : nat) : 
   n <> 0 -> (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n.
Proof.
intro nn0.
apply Nat2Z.inj.
rewrite !mod_Zmod; auto.
rewrite !Nat2Z.inj_add.
rewrite !mod_Zmod; auto.
rewrite Zplus_mod.
easy.
Qed.