Math 使用到三维中其他三个点的距离定位点

假设我们在3-D中有4个点（P1、P2、P3、P4）。 如果这些点的坐标与它们到第五个点P5（r1、r2、r3、r4）的欧几里德距离一起给出，如何计算P5的坐标

在文章中，的答案对于二维来说是完美的。但我如何将它扩展到三维呢

以下是我的2D代码：

    static void localize(double[] P1, double[] P2, double[] P3, double r1, double r2, double r3)
    {
        double[] ex = normalize(difference(P2, P1));
        double i = dotProduct(ex, difference(P3, P1));
        double[] ey = normalize(difference(difference(P3, P1), scalarProduct(i, ex)));
        double d = magnitude(difference(P2, P1));
        double j = dotProduct(ey, difference(P3, P1));
        double x = ((r1*r1) - (r2*r2) + (d*d)) / (2*d);
        double y = (((r1*r1) - (r3*r3) + (i*i) + (j*j)) / (2*j)) - ((i*x) / j);
        System.out.println(x + " " + y);

    }

我想用签名重载函数

static void localize(double[] P1, double[] P2, double[] P3, double[] P4, double r1, double r2, double r3, double r4)

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你们需要解四个方程组（i=1..4，Di是到第i个点的距离）

可以解三个方程组，并使用第四个方程组从两个方程组中选择合适的解

这就是GPS的工作原理（时间延迟是指距离）

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在GPS接收机中，经常使用优化方法，特别是当许多卫星可用且代数解可能不稳定时。

维基百科三边测量描述了答案。计算步骤如下：

ex=（P2-P1）/“P2-P1”

i=ex（P3-P1）

ey=（P3-P1-i·ex）/“P3-P1-i·ex”

d=“P2-P1”

j=ey（P3-P1）

x=（r12-r22+d2）/2d

y=（r12-r32+i2+j2）/2j-ix/j

z=±sqrt（r12-x2-y2）

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这是真的。但是我需要写一个程序来做这个。所以，“解这个方程”不起作用：/这是完美的。但有些事情是不对的。我不需要4个坐标来计算第五个吗？这里只使用三个点。一个点和一个距离定义了空间中的球体。两个球体的交点是一个圆。3个球体的交点为2点。你可以用第四个来选择两点中的一点。你能检查一下我的代码并告诉我这是不是真的吗？我没有得到我需要的坐标。我可能混淆了一些操作（点积与标量积）

(X-Xi)^2+(Y-Yi)^2+(Z-Zi)^2=Di^2