Math 如何确定两个移动点何时彼此可见？

假设我有两点，点1和点2。在任何给定的时间，这些点可能位于不同的位置——它们不一定是静态的

点1位于时间t的某个位置，其位置由给出时间t的x和y坐标的连续函数x1（t）和y1（t）定义。这些函数是不可微的，它们是由线段分段构造的

点2是相同的，具有x2（t）和y2（t），每个函数具有相同的属性

可能妨碍可见性的障碍物是简单（且不可移动）多边形

如何找到可见性的边界点

i、 有两种边界：一种是点可见的边界，另一种是不可见的边界

对于变得可见的边界i，存在一些ϵ>0，这样对于任何实数a，a∈ （i-ϵ，i）、点1和点2不可见（即连接

（x1（a）、y1（a））

到

（x2（a）、y2（x））

的线段穿过一些障碍物）

为了b∈ （i，i+ϵ）它们是可见的

这是另一种让人看不见的方式

但是我能找到这样一个精确的边界吗？如果能，如何找到？

很容易找到。使用此选项检查直线（p1、p2）和每个多边形边的交点。如果有任何交叉点，线（p1，p2）会被一些障碍物阻挡

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如果您需要一个时间间隔（p1和p2不在视线范围内），您可以执行上述检查，以确定不同的t值（最好具有相对较小的差异），并且在“可见-t”和“不可见-t”之间，您可以执行二进制搜索，直到达到足够小的阈值，例如eps。

只有当障碍物顶点位于点1-2线段上时，才能发生可见性变化。因此，计算所有此类顶点碰撞的时间。（直观地说，这应该是一个相对简单的测试，因为端点是线性移动的，但我需要实际完成它以进行检查。我稍后会尝试并返回。）

您现在有了一组有限的碰撞时间。对于每个障碍物，检查线段是否与任何其他障碍物边相交。如果是，则该边控制可见性，而时间不是可见性边界。如果没有，可以检查（t-ε）和（t+ε）处的可见性，以确定更改的性质

对于某些边情况，例如顶点位于连续拉伸的连接线上时，需要有一个策略。我认为这些可能都归结为一个问题，即点（和边）是否不透明

更新

识别顶点碰撞的过程确实相当简单，它只需要在t中解一个稍微繁琐的二次方程。您需要为每个顶点的每个分段运动段执行此操作，因此我猜对于n个顶点和m个时间段，成本将O（n*m）。（如果位置函数的时间段不同步，则需要对其进行细分以实现同步。）

只考虑一个时间段，标度t在[0,1]范围内。每个位置函数在t中都是线性的，因此定义

x1（t）=x10+x1m*t

（即，

x10

是起始值，

x1m

是梯度），对于

y1（t）

，

x2（t）

和

y2（t）

，同样如此。对于顶点

V=（vx，vy）

，V位于连接点的线段上的时间（如有）由^2+Bt+C=0处的等式

给出，其中：

A = x1m * y2m - x2m * y1m
B = vx * (y1m - y2m) + vy * (x2m - x1m)
     + x10 * y2m - x20 * y1m
     + y20 * x1m - y10 * x2m
C = vx * (y10 - y20) + vy * (x20 - x10)
     + x10 * y20 + x20 * y10

（或者诸如此类。考虑到信封背面可能出现转录错误，我强烈建议您在实施之前自己完成！）

如果这有一个在[0,1]范围内的真实解，Bob就是你的叔叔。如果它减少到<代码> 0＝0 或多个，那么这一点就在整个时间线上，在这种情况下，你必须考虑你的策略。
 
 OK，我现在对问题有了更清晰的了解，并受到@ WalkyTalky建议的启发，这里有一个更详细的答案。
您提到了
p1
和
p2
沿直线段移动。我不知道这些段是否对齐，使得
p1
和
p2
始终同时启动新段。但是，始终可以将一条线段切割为两条线段（具有相同的坡度），以便
p1
和
p2
始终同时启动新线段

假设
p1
沿着线
A-B
移动，
p2
沿着线
C-D
移动（同时），因为参数
t
从0变为1。（即，时间<代码> t＝0.5 < /代码>，<代码> p1 < /代码>位于<代码> -Ab和<代码> P2 < /代码>中的代码> C-D ）

通过让
Ax
和
Ay
表示点
A
的x和y坐标（同样对于
B
、
C
和
D
），我们可以用以下方式将
p1
和
p2
表示为
t
的函数：

p1(t) = (Ax + t*(Bx - Ax), Ay + t(By - Ay))
p2(t) = (Cx + t*(Dx - Cx), Cy + t(Dy - Cy))

（例如，当
t=0
时，
Ax+t*（Bx-Ax）
计算为
Ax
，当
t=1
时计算为
Bx
）

要查找p1和p2之间的每个“a顶点”经过时间，请执行以下操作：

对于每个障碍物顶点
v=（Vx，Vy）
我们需要找到一个
t
，以便
p1（t）
，
p2（t）
和
v
彼此一致

这可以通过求解以下方程（两个方程和两个未知，
t
和
k
）来实现：

如果
k
介于0和1之间，则多边形顶点
v
实际上位于（扩展的）
A-B
线和（扩展的）
C-D
线之间。如果
t
为
Vx=p1(t).x + k*(p2(t).x - p1(t).x)
Vy=p1(t).y + k*(p2(t).y - p1(t).y)`