Math 在MATLAB中求两个向量的交点

我有一个非常简单的MATLAB问题。找到两个向量的交点最简单的方法是什么。我不熟悉各种各样的MATLAB函数——似乎应该有一个这样的函数

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例如，如果我有一个从（0,0）到（6,6）的向量和另一个从（0,6）到（6,0）的向量，我需要确定它们在（3,3）处相交。

好吧，两条不同的线上确实有两个点，并且你想要找到交点。最简单的方法是找到两条直线的方程，然后计算交点

直线方程由y=mx+b给出，其中m为斜率，b为y截距。对于一条直线，有两个点，这两个点给出了两个方程。所以，你可以解出常数m和b。由此得出以下两个方程式：

 0 = 0*m + 1*b  % Using the first point x=y=0 into y=m*x+b
 6 = 6*m + 1*b  % Using the second point x=y=6

或以矩阵形式：

 [ 0 ] = [ 0 1 ]* [ m ]
 [ 6 ]   [ 6 1 ]  [ b ]

对于第一行，可以在MATLAB中通过

 C1 = inv([0 1;6 1]*[1;0]; % m=C1(1) and b=C(2)

现在有了两条直线的方程，可以通过求解以下方程组（通过操纵直线方程获得）来求解交点：

剩下的就是以矩阵形式写出上述方程组并求解：

 [x] = inv [m_1 -1] * [-b_1]
 [y]       [m_2 -1]   [-b_2]

或使用MATLAB语法：

 I = inv([m_1 -1; m_2 -1])*[-b_1;-b_2]; % I is the intersection.

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注释

• 根据gnovice的注释，如果直线实际上是线段，则需要检查交点是否在线段的端点之间

• 如果两个斜率相等，m_1=m_2，那么要么没有交点，要么有无限多个交点

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一种解决方案是使用（更新：这是一个internet存档链接，因为该站点已不存在）。首先可以创建两个矩阵：一个用于保存直线端点的x坐标，另一个用于保存y坐标

x = [0 0; 6 6];  %# Starting points in first row, ending points in second row
y = [0 6; 6 0];

然后，可将上述来源的方程式编码如下：

dx = diff(x);  %# Take the differences down each column
dy = diff(y);
den = dx(1)*dy(2)-dy(1)*dx(2);  %# Precompute the denominator
ua = (dx(2)*(y(1)-y(3))-dy(2)*(x(1)-x(3)))/den;
ub = (dx(1)*(y(1)-y(3))-dy(1)*(x(1)-x(3)))/den;

现在可以计算两条线的交点：

xi = x(1)+ua*dx(1);
yi = y(1)+ua*dy(1);

对于问题中的示例，上述代码给出了预期的

xi=3

和

yi=3

。如果要检查交点是否位于直线的端点之间（即，它们是有限的线段），只需检查值

ua

和

ub

是否都位于0和1之间：

isInSegment = all(([ua ub] >= 0) & ([ua ub] <= 1));

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isInSegment=all（[ua-ub]>=0）和（[ua-ub]对于一般多维解，您实际要做的是解一系列线性系统

首先，您需要将方程简化为线性形式：
Ax+By=C
（根据需要展开维度）

有两点：

y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)
y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * x - (y2 - y1) / (x2 - x1) * x1
(y1 - y2) / (x2 - x1) * x + y - y1 = (y1 - y2) / (x2 - x1) * x1
(y1 - y2) / (x2 - x1) * x + y = (y1 - y2) / (x2 - x1) * x1 + y1
(y1 - y2) * x + (x2 - x1) * y = (y1 - y2) * x1 + (x2 - x1) * y1

A = (y1 - y2)
B = (x2 - x1)
C = (y1 - y2) * x1 + (x2 - x1) * y1 = A * x1 + B * y1

例如：

x1 = 0, x2 = 6, y1 = 0, y2 = 6
A1 = (0 - 6) = -6
B1 = (6 - 0) = 6
C1 = A1 * 0 + B1 * 0 = 0

x1 = 0, x2 = 6, y1 = 6, y2 = 0
A2 = (6 - 0) = 6
B2 = (6 - 0) = 6
C2 = A2 * 0 + B2 * 6 = 6 * 6 = 36

然后，形成一个矩阵，B和C列为：

[A1 B1 C1]
[A2 B2 C2]

[-6 6 0]
[ 6 6 36]

现在，使用Matlab函数
rref（矩阵）
，简化为梯队形式：

正如您所猜测的，最后一列是您的交点。这可以根据需要扩展到任意多个维度。如果您的简化梯队形式的前面部分具有除单位矩阵以外的其他内容，则向量要么没有唯一的交点，要么没有交点，具体取决于矩阵的形式

dim = 2;

% Do other stuff, ending with rref(matrix)

if (matrix(:,1:dim) == eye(dim))
    % Matrix has unique solution.
    solution = (matrix(:,dim+1))'
else
    % No unique solution.
end

在两个维度中，变化如下：

线性解，表示解是一行形式的
x+By=C
：

[ 1 B C]
[ 0 0 0]

无解决方案，表示线没有交叉，其中
C2 0
：

[ 1 B C1]
[ 0 0 C2]

在我看来，其他结果令人困惑、冗长且不完整。因此，这是我的两分钱——也可能令人困惑且冗长

如果您确定直线不是倾斜平行或平行的，则只需执行以下操作：

% Let each point be def as a 3x1 array
% Let points defining first line be  : p1, q1
% Let points defining second line be : p2, q2

L = p1-p2;
M = p1-q1;
N = p2-q2;
A = [M N];
T = pinv(A)*L;
h = p1-T(1)*(p1-q1); % h is a 3x1 array representing the actual pt of intersection

是的，这是一个强大的东西。对这种方法的解释是：你想找到“方向向量”（M和N是方向向量）的权重或比例因子，它们线性地结合M和N得到L

下面给出了完整的描述。它提供了一个简单的异常检测方案，其处理留给用户。（两行算法之间的最小距离来自维基百科；方向余弦（DC）的比较检查向量姿态是常识。）

因此，即使M和N向量是歪斜的（但不是平行的，因为inv（A'.A）必须存在），pinv方法也会给你结果。你可以用它来确定两条平行线之间或两个平行平面之间的最小距离-为此，定义
k=p2+T（2）*（p2-q2）
，则所需距离为h-k。还请注意，当直线倾斜时，h和k是直线上最接近的点

因此，伪逆空间和投影空间的使用为我们提供了一个简洁的算法：

确定两条直线的交点（不平行，也不倾斜）
确定两条线之间的最小距离（不平行）
确定两条斜线上彼此最接近的点
简洁与省时不一样。很大程度上取决于您精确的pinv函数实现-MATLAB使用
svd
，它解决了一个公差。此外，一些结果仅在测量度量（或向量规范）的高维和高阶定义中近似准确。除了明显的独立于维度的实现之外，这还可以用于统计回归分析和代数最大化点估计的可能性。
您应该在mathoverload上询问这个问题。com@Michael：我想你指的是mathoverflow.net，尽管该网站更倾向于“研究级数学”。像这样简单的问题可能会一直存在（见这篇文章：）此外，这个问题涉及到在Matlab中编程一个解决方案，而不是如何用数学方法解决这个问题。关于如何在Matlab中解决这个问题，请参阅我的答案。向量没有交点，直线有！一个
[ 1 B C1]
[ 0 0 C2]

% Let each point be def as a 3x1 array
% Let points defining first line be  : p1, q1
% Let points defining second line be : p2, q2

L = p1-p2;
M = p1-q1;
N = p2-q2;
A = [M N];
T = pinv(A)*L;
h = p1-T(1)*(p1-q1); % h is a 3x1 array representing the actual pt of intersection

% Let each point be def as a 3x1 array
% Let points defining first line be : p1, q1
% Let points defining second line be: p2, q2

% There are two conditions that prevent intersection of line segments/lines
% in L3 space. 1. parallel 2. skew-parallel (two lines on parallel planes do not intersect)
% Both conditions need to be identified and handled in a general algorithm.

% First check that lines are not parallel, this is done by comparing DCS of
% the line vectors
% L, M, N ARE DIRECTION VECTORS.
L = p1-p2;
M = p1-q1;
N = p2-q2;

% Calculate a normalized DCS for comparison. If equal, it means lines are parallel.
MVectorMagnitude = sqrt(sum(M.*M,2)); % The rowsum is just a generalization for N-D vectors.
NVectorMagnitude=sqrt(sum(N.*N,2)); % The rowsum is just a generalization for N-D vectors.

if isequal(M/MVectorMagnitude,N/NVectorMagnitude) % Compare the DCS for equality
     fprintf('%s\n', 'lines are parallel. End routine')
end;

% Now check that lines do not exist on parallel planes
% This is done by checking the minimum distance between the two lines. If there's a minimum distance, then the lines are skew.

a1 = dot(M,L); b1 = dot(M,M); c1 = dot(M,N);
a2 = dot(N,L); b2 = dot(N,M); c2 = dot(N,N);

s1 = -(a1*c2 - a2*c1)/(b1*c2-b2*c1);
s2 = -(a1*b2 - a2*b1)/(b1*c2-b2*c1);

Sm = (L + s1*M - s2*N);
s = sqrt(sum(Sm.*Sm,2));

if ~isequal(s,0) % If the minimum distance between two lines is not zero, then the lines do not intersect
    fprintf('%s\n','lines are skew. End routine')
end;

% Here's the actual calculation of the point of intersection of two lines.
A = [M N];
T = pinv(A)*L;
h = p1-T(1)*(p1-q1); % h is a 3x1 array representing the actual pt of intersection.