Math 将三维点投影到二维平面

假设A是一个点，我有三维坐标x，y，z，我想把它们转换成二维坐标：x，y。投影应在由给定法线定义的平面上正交。普通情况下，法线实际上是一个轴，很容易解决，只需消除一个坐标，但其他情况如何，更可能发生？

。然后从

A

中减去该投影。剩下的是

A

在正交平面上的投影

A在装置法向

n

上的投影如下所示：

(A · n) n

如果

A=（x，y，z）

且单位法线由

n=（nx，ny，nz）

给出，则A到

n的投影为

(x*nx + y*ny + z*nz) n

所以A在正交平面上的投影是

A - (A · n) n
= (x, y, z) - (x*nx + y*ny + z*nz) (nx, ny, nz)

In [15]: A - np.dot(A,n)*n
Out[15]: array([-0.66233766, -0.07792208,  0.50649351])


例如，如果A=（1,2,3）和n是方向（4,5,6）上的单位法线，则

所以A在正交平面上的投影是

A - (A · n) n
= (x, y, z) - (x*nx + y*ny + z*nz) (nx, ny, nz)

In [15]: A - np.dot(A,n)*n
Out[15]: array([-0.66233766, -0.07792208,  0.50649351])


如何查找二维坐标：

您需要在正交平面上定义二维坐标系。换句话说，您需要定义
x轴和
y轴的位置。例如，您可以将
x轴
定义为（1,0,0）在正交平面上的投影（使用上面显示的计算）。这将适用于退化情况，其中（1,0,0）垂直于平面

一旦有了
x
和
y
轴方向的单位向量，就可以将
A
直接投影到
x
和
y
上。这些向量的大小是二维坐标

例如，这是（1,0,0）在平面上的投影。我们认为这是x轴方向：

In [42]: x = np.array([1,0,0])    
In [45]: x = x - np.dot(x, n) * n
In [52]: x /= sqrt((x**2).sum())   # make x a unit vector    
In [53]: x
Out[53]: array([ 0.89006056, -0.29182313, -0.35018776])

这里我们计算y轴方向：
y轴
方向必须垂直于法线方向
n
和
x
。因此，我们可以将
y
定义为
n
和
x
：

In [68]: y = np.cross(n, x)

In [69]: y
Out[69]: array([ -2.77555756e-17,   7.68221280e-01,  -6.40184400e-01])

下面是平面中
A
的坐标：

In [70]: np.dot(A, x), np.dot(A, y)
Out[70]: (-0.74414898890755965, -0.38411063979868798)

如果目标点p具有坐标
r_p=（x，y，z）
和法线
n=（nx，ny，nz）
的平面，则需要在平面上定义原点，以及
x
和
y
的两个正交方向。例如，如果原点位于
r\u O=（ox，oy，oz）
且平面中的两个坐标轴由
e\u 1=（ex\u 1，ey\u 1，ez\u 1）
，
e\u 2=（ex\u 2，ey\u 2，ez\u 2）
定义，则正交性具有
点（n，e\u 1）=0
，
点（n，e\u 2）=0
，
点（e\u 1，e\u 2）=0矢量积。请注意，所有方向向量都应规格化（幅值应为1）

您的目标点p必须遵循以下等式：

r_P = r_O + t_1*e_1 + t_2*e_2 + s*n

其中
t_1
和
t_2
是沿
e_1
和
e_2
和
s
平面和点之间的法向间隔（距离）的二维坐标

通过投影可以找到以下标量：

s = Dot(n, r_P-r_O)
t_1 = Dot(e_1, r_P-r_O)    
t_2 = Dot(e_2, r_P-r_O)

具有平面原点
r_O=（-1,3,1）
和法线的示例：

n = r_O/|r_O| = (-1/√11, 3/√11, 1/√11)

必须为二维坐标拾取正交方向，例如：

e_1 = (1/√2, 0 ,1/√2)
e_2 = (-3/√22, -2/√22, 3/√22)

这样
点（n，e_1）=0
和
点（n，e_2）=0
和
点（e_1，e_2）=0

点p
r_p=（1,7，-3）
的二维坐标为：

t_1 = Dot(e_1, r_P-r_O) = ( 1/√2,0,1/√2)·( (1,7,-3)-(-1,3,1) ) =  -√2
t_2 = Dot(e_2, r_P-r_O) = (-3/√22, -2/√22, 3/√22)·( (1,7,-3)-(-1,3,1) ) = -26/√22

以及面外分离：

s = Dot(n, r_P-r_O) = 6/√11

此问题似乎与主题无关，因为它与几何有关（请尝试）。二维（0,0）点在哪里定义？平面上的点是否离三维原点最近？你如何定义平面
x
和
y
轴的方向？谢谢你的回答，但是现在我如何将它们转换成二维坐标呢？我的意思是去掉z坐标，就像把它投影到屏幕上。我认为你把事情复杂化了。你只需要点积就可以得到投影距离（坐标）。非常感谢，我认为你的答案比第一个好。我自己也在想类似的事情，但你为我澄清了一些事情。还有一个问题：如何计算e_1和e_2？参见，您也可以根据三维原点（投影到平面上）的径向和切向向量定义方向，或者通过平面与
XY
或
YZ
或
ZX
平面的交点。有无数种方法可以定义法向量的正交向量。这应该在定义平面时确定，而不是在测量点时确定。这些向量不应该是正交的而不是正交的吗？