Matlab 高斯核确认

我正在尝试实现这个内核函数

这也被称为径向基函数。假设

a=2

，

b=1

和

σ=150

• Xi是一个425x3矩阵
• Xj是一个4x3矩阵

我已经想出了这个代码，但我不确定这是正确的。你能帮我吗

kS = exp( - (pdist2(Xj,Xi).^2) / (sigma^2) )

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注意：原来的答案被完全重新定义了，因为我误解了问题的定义

下面给出了

Xi

和

Xj

之间内核距离的评估。给出了实现该算法的两个代码。第一个代码效率低下，但很容易与内核距离的定义相关联。第二个代码效率更高，但由于一些矢量化技巧，可能没有那么清晰

本规范假设问题的解释如下：

Xi

和

Xj

是两个数据集，分别包含425和4个点。每个点都属于

R^3

（维数为3的实向量空间）

两个数据集之间的核距离是根据J.M.Phillips和S.Venkatasubramanian的文章“核距离的温和介绍”中给出的定义计算的，可在下面找到。定义如下：

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该算法最直接的实现方式是：

% Initialisation.
clear;
clc;

% Construct Xi.
Xi = [randn(425, 1) randn(425, 1) randn(425, 1)];

% Definition of Xj.
Xj = [0.1 0.2 0.3; 0 0 0; -0.1 -0.1 -0.2; 1 -8 4];

% Convert to cell arrays.
Xi = mat2cell(Xi, ones(1, length(Xi(:, 1))), 3);
Xj = mat2cell(Xj, ones(1, length(Xj(:, 1))), 3);

% First, construct the kernel function for the evaluation of individual
% points in Xi and Xj
omega = 150;
a = 2;
kerFunction = @(xi, xj) exp(sum(abs(xi - xj).^a)/(omega^2));

kerDist = 0;
for i = 1 : length(Xj)
    for j = 1 : length(Xj)
        kerDist = kerDist + kerFunction(Xj{i}, Xj{j});
    end
end
for i = 1 : length(Xi)
    for j = 1 : length(Xi)
        kerDist = kerDist + kerFunction(Xi{i}, Xi{j});
    end
end
for i = 1 : length(Xi)
    for j = 1 : length(Xj)
        kerDist = kerDist - 2*kerFunction(Xi{i}, Xj{j});
    end
end

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该算法的更有效实现如下所示：

clear;

% Define constants.
omega = 150;
a = 2;

% Definition of Xi.
Xi = [randn(425, 1) randn(425, 1) randn(425, 1)];

% Definition of Xj.
Xj = [0.1 0.2 0.3; 0 0 0; -0.1 -0.1 -0.2; 1 -8 4];

% Definition of the characteristics of the data sets.
numPointsXj = length(Xj(:, 1));
numPointsXi = length(Xi(:, 1));

% Define a handle function for the definition of indices for the
% vectorisation of the kernel function.
hdlRepIdxPermutation = @(numPoints, numMatrixRep) ...
    repmat( ...
    (1 : numPoints : numPoints*(numMatrixRep - 1) + 1)', ...
    1, numPoints ...
    ) + ...
    repmat(0 : (numPoints - 1), numMatrixRep, 1);

tic

% Calculate the term that corresponds to K(p, p') in the definition of the
% kernal distance.
repXiRight = repmat(Xi, numPointsXi, 1);
leftIdxPermutationXi = hdlRepIdxPermutation(numPointsXi, numPointsXi);
repXiLeft = repXiRight(leftIdxPermutationXi(:), :);

kerDistComp1 = sum(exp(sum(abs(repXiLeft - repXiRight).^a, 2)/(omega^2)));

% Calculate the term that corresponds to K(q, q') in the definition of the
% kernal distance.
repXjRight = repmat(Xj, numPointsXj, 1);
leftIdxPermutationXj = hdlRepIdxPermutation(numPointsXj, numPointsXj);
repXjLeft = repXjRight(leftIdxPermutationXj(:), :);

kerDistComp2 = sum(exp(sum(abs(repXjLeft - repXjRight).^a, 2)/(omega^2)));

% Calculate the term that corresponds to K(p, q) in the definition of the
% kernal distance.
repXjRight = repmat(Xj, numPointsXi, 1);
repXiLeft = repmat(Xi, numPointsXj, 1);
leftIdxPermutationXi = hdlRepIdxPermutation(numPointsXi, numPointsXj);
repXiLeft = repXiLeft(leftIdxPermutationXi(:), :);
kerDistComp3 = -2*sum(exp(sum(abs(repXiLeft - repXjRight).^a, 2)/(omega^2)));

kerDist = kerDistComp1 + kerDistComp2 + kerDistComp3;

toc

disp(kerDist);

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谢谢你的回答。我试图解决的问题是用上述函数计算两个模式之间的核化距离。例如，在实空间中，两个图案之间的距离可以通过欧几里德距离来计算。但是如果我们把数据映射到高维空间，我们需要一个核化的距离度量。我不确定上面的脚本是否符合我的要求。谢谢你的评论。我可能误解了你的问题。不过，如果您能进一步解释一下您的问题，我将不胜感激。你所说的“核化距离度量”到底是什么意思？它是否符合这里提供的内核距离定义（等式1.1）？这正是我的意思。如果我们不将数据映射到更高的维度，那么两个模式之间的距离就可以很容易地计算出来。因此，核化距离由以下公式给出：| |φ（Xi）-φ（Xj）| |.^2=K（Xi，Xi）+K（Xj，Xj）-2K（Xi，Xj）。显然，对于高斯核，K（Xi，Xi）=1，因此上述关系简化为：d（Xi，Xj）=| |φ（Xi）-φ（Χj）| ^ 2=2*（1-K（Xi，Xj））。这是我正在尝试实现的内核化距离度量。谢谢。我不确定我是否完全理解你对X_I和X_j的解释，而不是内核定义中的X_（I，k）和X_（j，k）。我对这个问题的（新）解释是X_i和X_j是两个数据集。X_i有425个点，X_j有4个点（每个点属于R^3）。您需要计算这两组点之间的内核距离。我之所以认为是这样，是因为内核定义中的和是在k上迭代的，而不是I和j。在这种情况下，d（Xi，Xj）的定义仅适用于单个点，而不适用于整个数据集。