Matlab 求解大型（n>；1000000）线性方程组

我已在以下问题上达到极限：

作为FEA代码的一部分（在MATLAB中），我需要找到x，x=A\b。A和b分别是稀疏、复、双精度矩阵和向量。A的大小是（n，n）和b的大小是（n，1），其中n是850000，可以增加到2000000。此外，A是对称的，大部分是对角的

我有两个HPC集群供我使用，一个有5.7TB的RAM，另一个有1.5TB（但更快的内核）。从技术上讲，我可以按原样解决系统，只需等待大约15天。但是，我需要执行求解方程组的操作，每次模拟的次数最多为10倍。因此，15天的时间是不可接受的

我尝试了迭代方法，但是这些方法并没有产生与反斜杠操作符相同的结果。在某些情况下，也没有收敛

我已将x=A\b部分转换为mexa64格式，以潜在地减少时间。然而，我担心这仍然需要几天的时间

对如何解决这个问题有什么建议吗？是否有任何商业代码可以更快/更有效地完成这项工作？当一个模型有超过1m个节点时，商业FEA软件包如何解决这个问题

非常感谢您的帮助！

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提前谢谢

稀疏矩阵计算本身就是一个很大的领域。你们唯一能做的就是更具体地描述它，并使用一个更可定制的解决方案，因为Matlab不允许你们这样做，并查看它的源代码，看看你们是否能做任何改进。据我所知，求解稀疏线性系统主要有两种方法，直接法和迭代法。每种类型都有许多算法。例如，Cholesky分解具有非常好的性能和较低的内存使用率，但仅适用于SPD（对称正定）矩阵。其他方法有LU、LDL、QR等。每种方法都满足特定的矩阵类型来求解

Matlab在幕后也使用了这些方法之一（不确定，但我在某处读到它在

A/b

操作符下面使用了SuiteSpase代码）。根据矩阵的类型（无论是

对称正定

还是

非对称

等），您需要选择一种模式（我指的是迭代模式或直接模式）。我认为直接法更适合这样大的系统（因为舍入误差）。此外，也有基于GPU的解算器可用于直接法和迭代法以及高度并行化，但可能不适用于矩阵分解本身超过8GB的大问题

您应该执行的步骤：

• 确定矩阵的类型（SPD、对称或通用）
• 为您选择最佳的直接法矩阵
• 找到一个可以处理此类因式分解的免费或商业软件包（例如

  Eigen

  ，

  Intel MKL

  ，

  suitespare

  ），并优化代码以支持并行计算
<> LI>让你的手有点脏，写一个非常小的程序，从文件中取矩阵<代码> A/code >和vector <代码> B/code >，并使用代码包中的一个，用C++代码（它们准备使用示例代码）查找 x/code >

另外，请记住，每种方法和程序包都可以在开始计算之前改变矩阵的顺序，选择好的顺序会对速度甚至精度产生很大影响

这个链接也应该很有趣：

还有两本关于稀疏矩阵的书：

• Sergio Pissanetzky的稀疏矩阵技术
• Timothy A.Davis的稀疏线性系统的直接方法

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如果你的矩阵是厄米特矩阵（Aij=Aji*）并且是正定的，那么共轭梯度法就不会出错。如果你有一个右手边并且保证收敛，那么这几乎总是最快的方法。此外，这允许您使用猜测解决方案（例如，来自上一时间步），这可能是有益的。虽然解决方案不同于直接分解（它怎么可能没有无数的系数），但它可能没有那么大的不同

如果它实际上是一个对称的复矩阵（Aij=Aji），那么这很奇怪，但可能仍然比一般的复矩阵好。在这两种情况下，尝试使用只需要传递矩阵一半的例程（我认为matlab不支持此功能）。这将把你的内存使用量减少一半，可能会让事情变得更快（移动16GB的数字要比移动8GB慢）

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最后，我找不到关于Matlab是否支持英特尔MKL Inspector执行器稀疏BLAS例程的答案。根据我的经验，在瓶颈中使用MKL总是可以提高性能。这是一个封闭的源代码，您不知道其中发生了什么——可能是神奇的。

一旦达到这个级别，您需要特定于问题的代码来加速。通常，大规模问题不会将矩阵

A

存储在内存中，这会带来极大的速度提升。这是因为可以动态计算操作

A*x

和'A^t*b'。e、 我制作了一个层析成像工具箱，可以动态计算这些操作，这意味着不需要内存，矩阵存储解决方案的加速速度超过1000。但它只适用于特定类型的断层扫描。你需要发现，对于你的案例，顺便说一句，matlabs

A\b

在引擎盖下使用了高度加速的代码，我怀疑你能比MATLAB给出的更快，使用同样的方法你需要解几个方程组。

A

矩阵是否可能对其中一些人通用？可以使用的任何结构或限制？除此之外，我同意安德的观点：在求解线性系统方面，似乎很难超越Matlab的速度。矩阵A是对称的，而且大多是直径