Matlab ODE45和Runge-Kutta方法与解析解的绝对误差比较

如果有人能帮助解决以下问题，我将不胜感激。 我有以下建议：

dr/dt = 4*exp(0.8*t) - 0.5*r   ,r(0)=2, t[0,1]       (1)

我用两种不同的方法解决了（1）。 通过龙格-库塔法（四阶）和Matlab中的

ode45

。我将这两个结果与解析解进行了比较，解析解由下式给出：

r(t) = 4/1.3 (exp(0.8*t) - exp(-0.5*t)) + 2*exp(-0.5*t)

当我绘制每个方法相对于精确解的绝对误差时，我得到以下结果：

对于RK方法，我的代码是：

h=1/50;                                            
x = 0:h:1;                                        
y = zeros(1,length(x)); 
y(1) = 2;    
F_xy = @(t,r) 4.*exp(0.8*t) - 0.5*r;                   
for i=1:(length(x)-1)                              
    k_1 = F_xy(x(i),y(i));
    k_2 = F_xy(x(i)+0.5*h,y(i)+0.5*h*k_1);
    k_3 = F_xy((x(i)+0.5*h),(y(i)+0.5*h*k_2));
    k_4 = F_xy((x(i)+h),(y(i)+k_3*h));
    y(i+1) = y(i) + (1/6)*(k_1+2*k_2+2*k_3+k_4)*h;  % main equation
end

对于

ode45

：

tspan = 0:1/50:1;
x0 = 2;
f = @(t,r) 4.*exp(0.8*t) - 0.5*r;
[tid, y_ode45] = ode45(f,tspan,x0);

我的问题是，为什么我使用

ode45

时会出现振荡？（我指的是绝对误差）。这两种解决方案都是准确的（

1e-9

），但在这种情况下，

ode45

会发生什么

---

当我计算RK方法的绝对误差时，为什么它看起来更好？

ode45与rk4-rk5耦合。我个人认为ODE45错误更好。请注意，它保持有界。当误差幅度过大时，ode4会得到校正，每个周期的最小误差约为1e-10。rk4正在“跑开”，没有任何东西可以阻止它。

您的rk4函数正在执行的固定步骤比

ode45

正在执行的步骤小得多。您真正看到的是错误，因为它用于生成

ode45

所采取的真正步骤之间的点。这通常被称为“密集输出”（参见）

指定包含两个以上元素的

TSPAN

向量时，生成固定步长输出。但这并不意味着他们实际上使用了固定的步长，或者他们使用了

TSPAN

中指定的步长。您可以查看实际使用的步长，并通过使用

ode45

输出结构和使用以下命令，仍然可以获得所需的固定步长输出：

您将看到，在初始步骤

0.02

之后，由于您的ODE很简单，因此在后续步骤中会收敛到

0.1

。默认公差与默认最大步长限制（积分间隔的十分之一）共同决定了这一点。让我们按真实步骤绘制错误：

exactsol = @(t)(4/1.3)*(exp(0.8*t)-exp(-0.5*t))+2*exp(-0.5*t);
abs_err_ode45 = abs(exactsol(tspan)-y_ode45);
abs_err_ode45_true = abs(exactsol(sol.x)-sol.y);
abs_err_rk4 = abs(exactsol(tspan)-y);
figure;
plot(tspan,abs_err_ode45,'b',sol.x,abs_err_ode45_true,'k.',tspan,abs_err_rk4,'r--')
legend('ODE45','ODE45 (True Steps)','RK4',2)

如您所见，真步长处的错误增长比RK4的错误慢（

ode45

实际上是一种比RK4更高阶的方法，因此您可以预料到这一点）。由于插值，积分点之间的误差增大。如果要限制此值，则应通过调整公差或其他选项

如果您想强制

ode45

使用

1/50

的步骤，您可以这样做（因为您的ODE很简单，所以有效）：

---

对于另一个实验，尝试扩大积分间隔，将积分输出到

t=10

maybe。您将在错误中看到许多有趣的行为（这里绘制相对错误很有用）。你能解释一下吗？您能否使用

ode45

和

odeset

生成性能良好的结果？使用自适应步长方法在大间隔内集成指数函数具有挑战性，并且

ode45

不一定是这项工作的最佳工具。但是也有，但可能需要一些编程。

这不是错误图实际显示的<代码>ode45在这种情况下，通过第二步收敛到恒定步长。图中也没有显示误差是“有界的”，只是增长得比你想象的要慢。你是对的，我对你的答案给了一个肯定的分数。一个更准确的方法，我应该在描述中使用的方法是“跑得更快”和“错误率保持更有限”。嗨@horchler。很遗憾我不能给你的答案打一分。此刻我不确定我更羡慕的是什么：你的编程技能还是你对数学的理解。我不知道实际的步骤是从下面的要点开始的。如果是这样的话，我100%同意你，颂歌更准确。你能对这两种方法都做个“tic-toc”测试吗？我曾经体验过RK方法使用0.018秒，而ode45使用0.5秒。我能否得出结论，ode45更精确，但速度较慢？而且，我相信ode45的自适应步长控制器非常好（？）我还没有尝试扩大积分间隔，但我真的很好奇输出。同时，你的评论也引起了我的兴趣，你说我期望特罗姆·奥德45和奥德赛能取得多好的成绩。我会尽我所能尝试这个！谢谢分享@塞尔吉奥哈拉姆：重新升级时机<代码>ode45需要一些初始化。例如，它需要确定要使用的步长。这需要时间。您可以通过

opts=odeset（'InitialStep'，0.1）给它一个提示

然后将

选项作为最后一个参数传递到

ode45

。此外，由于ODE非常简单（至少对积分器来说它看起来很简单，但正如我在最后解释的那样，指数增长可能具有挑战性），您可以尝试使用

ode23`。简单的固定步长方法在许多情况下都会更快，但通常在ODE更复杂的情况下（例如，许多振荡器）不会更快。@ZheyuanLi:我建议前往“固定步长方法”进行进一步的讨论/提问。有很多人可能会帮助你。

exactsol = @(t)(4/1.3)*(exp(0.8*t)-exp(-0.5*t))+2*exp(-0.5*t);
abs_err_ode45 = abs(exactsol(tspan)-y_ode45);
abs_err_ode45_true = abs(exactsol(sol.x)-sol.y);
abs_err_rk4 = abs(exactsol(tspan)-y);
figure;
plot(tspan,abs_err_ode45,'b',sol.x,abs_err_ode45_true,'k.',tspan,abs_err_rk4,'r--')
legend('ODE45','ODE45 (True Steps)','RK4',2)

opts = odeset('MaxStep',1/50,'InitialStep',1/50);
sol = ode45(f,tspan,x0,opts);
diff(sol.x)
y_ode45 = deval(sol,tspan);