Python与MATLAB——处理接近机器精度的数字

我知道有一些帖子有类似的主题。然而，我还没有找到任何不是问题特定的、更一般的东西

请注意，我不是在寻找一种变通方法，即“if”语句，如果足够接近它，则强制值为零

在我的问题中，我看到的是将矩阵转换为Hessenberg形式的结果（即，应用转换将零引入矩阵-数学细节在这里没有问题）。我最初用MATLAB为一个类编写代码，现在也希望用Python编写代码（所有代码都使用基本操作-这里没有“黑盒”操作）。我已经成功地做到了这一点，但我得到的答案却有着微小的差异，而这些答案应该是零

例如：

一些应为零的条目报告为1.77635684e-15和4.44089210e-16，它们都接近机器精度2.2204460E-16

这有什么根本原因吗

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把我的问题再细化一点

我最后得到的是一个几乎相等的数字的减法——我知道这通常是一个坏主意——对于那些值应该为零的条目。由于它们几乎相等且非常小，因此存在某种形式的精度损失

这让我想到，MATLAB和python处理此类评估的方式可能存在差异

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下面是困扰我的输出（“py”=Python输出，“mat”=MATLAB输出）。我可以忍受高达15位数的差异-这是机器精度。让我烦恼的是第四栏。这里是几乎相等的数字减法发挥作用的地方，也是我们真正看到差异的地方（第2-4行彼此为负数！）

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以下是我的python代码供参考：

这是我的MATLAB代码：

函数[dumA]=tridiag（A0）
%此函数将任何mxm矩阵简化为三对角形式
%通过正交相似变换。对于对称情况，则
%海森伯格的形式将是三对角的。
杜马=A0；
tmp=大小（杜马）；
m=tmp（1）；
v=单元（1，长度（1:m-2））；
对于k=1:m-2
x=杜马（k+1:m，k）；
tmp=尺寸（x）；
如果符号（x（1））==0
tmpsign=1；
其他的
tmpsign=符号（x（1））；
结束
dum=tmpsign*标准（x，2）*眼睛（tmp（1，1）+x；
如果和（x）==0
v{k}=dum；
持续
结束
v{k}=dum/范数（dum，2）；
杜马（k+1:m，k:m）=杜马（k+1:m，k:m）-2*v{k}*（v{k}'*杜马（k+1:m，k:m））；
杜马（1:m，k+1:m）=杜马（1:m，k+1:m）-2*（杜马（1:m，k+1:m）*v{k}）*v{k}；
结束
结束

您的python代码与编写的代码不一样，与MATLAB代码不同。我修正了它：

dumA = np.array(A)
n = np.shape(dumA)[1] # obtains n in (m,n) matrix
v = []
for k in np.arange(n-2):
    x = dumA[k+1:,k:k+1]
    tmp = np.shape(x)[0]
    tmpsign = np.sign(x[0]);
    if not tmpsign:
        tmpsign = 1.
    dum = tmpsign*norm(x,2)*np.eye(tmp,1) + x;
    if not x.sum():
        v.append(dum)
        continue
    v.append(dum/norm(dum,2));
    dumA[k+1:,k:] -= 2.*(v[k] @ (v[k].T @ dumA[k+1:,k:]));
    dumA[:,k+1:] -= 2.*((dumA[:,k+1:] @ v[k]) @ v[k].T);
print(dumA)

我做了一些测试，在第一次迭代中，直到循环的倒数第二行（分配给

杜马的倒数第二行），一切都是一样的。这个代码出现了问题：
dumA[：，k+1::@v[k]
，
dumA（1:m，k+1:m）*v{k}
。矩阵乘积的最后一个元素有一个非常微小的数值差异，大约为2e-16。这可能归结为略有不同的实现

MATLAB和numpy似乎都在使用同一版本的MKL进行计算，但如果看不到MATLAB源代码，就不可能准确说出差异所在。
我真的不明白你在问什么。在处理数字的浮点表示时，这是一个基本的“问题”。MATLAB已经在隐式地在数据显示中“解决”了这个问题。您所断言的值在MATLAB中也很可能不完全为零，仅显示为零。这种双精度可以存储15-17位小数，问题是什么？顺序的差异
1e-15
并不意外，我很乐意。如果您需要这些宝贵的数据，您可能需要重新考虑问题，通常避免运算量非常小和非常大以及混合和匹配。没有指定矢量化运算的执行顺序，因此机器精度顺序上的错误可能会改变。我会告诉你更多：numpy使用了一个矢量化版本的
np.dot
，它尽可能利用多个CPU核。这样就更容易看出，你最终得到的东西并不完全确定，但可以根据机器精度的大小而变化。通常的结论是：不要做任何假定浮点运算完全一致的事情。这不关你的事。与正在处理的数据相比，误差的大小在浮点数操作的预期范围内。这里没有精度损失。@符号是什么？我以前没见过。另外，什么是MKL？
@
是python矩阵乘法运算符（相当于MATLAB的
*
）。它适用于Python3.5及更高版本。MKL是Intel的数学内核库，是一个快速（至少在Intel CPU上）线性代数库，MATLAB使用，numpy和scipy可以选择使用。我测试的numpy版本Anaconda使用MKL。
dumA = np.array(A)
n = np.shape(dumA)[1] # obtains n in (m,n) matrix
v = []
for k in np.arange(n-2):
    x = dumA[k+1:,k:k+1]
    tmp = np.shape(x)[0]
    tmpsign = np.sign(x[0]);
    if not tmpsign:
        tmpsign = 1.
    dum = tmpsign*norm(x,2)*np.eye(tmp,1) + x;
    if not x.sum():
        v.append(dum)
        continue
    v.append(dum/norm(dum,2));
    dumA[k+1:,k:] -= 2.*(v[k] @ (v[k].T @ dumA[k+1:,k:]));
    dumA[:,k+1:] -= 2.*((dumA[:,k+1:] @ v[k]) @ v[k].T);
print(dumA)