Matlab 有限差分求解器中稀疏矩阵的高效生成

我正在写一个程序，用有限差分法解三维薛定谔方程。我的代码的1D和2D版本运行得很好，但在3D版本中，我发现矩阵的生成（对于了解QM的人来说，这是哈密顿矩阵；对于不了解QM的人来说，这并不重要）花费的时间最多（典型网格间距为分钟，而所有其他操作（包括最小特征值查找器）为秒！）

我想知道是否有人对如何更有效地编写矩阵生成有任何建议。我在下面列出了两个版本的代码：一个版本应该相对容易理解，然后是第二个版本，它遵循了MATLAB的文档建议，即在生成稀疏矩阵时不应直接索引条目，而应它们生成三个向量（行和列索引，以及它们各自的值）并从中生成稀疏矩阵。不幸的是，后者根本没有帮助加快速度，因为我仍然在使用一个愚蠢的三重嵌套循环，我想不出一个好办法来避免它

delta = 0.1e-9;
Lx = 2e-9;
x = 0:delta:Lx;
Nx = length(x);
Ly = 2e-9;
y = 0:delta:Ly;
Ny = length(y);
Lz = 2e-9;
z = 0:delta:Lz;
Nz = length(z);

map = inline('((idx_x-1) * Ny*Nz) + ((idx_y-1) * Nz) + idx_z','idx_x','idx_y','idx_z','Ny','Nz'); % define an inline helper function for mapping (x,y,z) indices to a linear index

Tsparse = sparse([],[],[],Nx*Ny*Nz, Nx*Ny*Nz, 7*(Nx-2)*(Ny-2)*(Nz-2)); % kinetic part of Hamiltonian matrix: (d^2/dx^2 + d^2/dy^2 + d^2/dz^2); NOTE: we'll have 7*(Nx-2)*(Ny-2)*(Nz-2) non-zero entries in this matrix, so we get the sparse() function to preallocate enough memory for this

for idx_x = 2:Nx-1
    for idx_y = 2:Ny-1
        for idx_z = 2:Nz-1
            Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y , idx_z , Ny, Nz) ) = -6/delta^2;
            Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x+1,idx_y , idx_z , Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
            Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x-1,idx_y , idx_z , Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
            Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y+1, idx_z , Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
            Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y-1, idx_z , Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
            Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y , idx_z+1, Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
            Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y , idx_z-1, Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
        end
   end
end

此代码生成一个矩阵，该矩阵沿7条对角线仅包含非零项（并且不是每条对角线中的所有项都是非零项）

以下是我试图创建T矩阵的代码版本，其创建方式与MATLAB文档中建议的方式更接近：

delta = 0.1e-9;
Lx = 2e-9;
x = 0:delta:Lx;
Nx = length(x);
Ly = 2e-9;
y = 0:delta:Ly;
Ny = length(y);
Lz = 2e-9;
z = 0:delta:Lz;
Nz = length(z);

map = inline('((idx_x-1) * Ny*Nz) + ((idx_y-1) * Nz) + idx_z','idx_x','idx_y','idx_z','Ny','Nz'); % define an inline helper function for mapping (x,y,z) indices to a linear index

Iidx = zeros(7*(Nx-2)*(Ny-2)*(Nz-2),1); % matrix row indices
Jidx = zeros(7*(Nx-2)*(Ny-2)*(Nz-2),1); % matrix col indices
vals = zeros(7*(Nx-2)*(Ny-2)*(Nz-2),1); % matrix non-zero values, corresponding to (row,col)
cnt = 1;
for idx_x = 2:Nx-1
    for idx_y = 2:Ny-1
        for idx_z = 2:Nz-1
            % Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y , idx_z , Ny, Nz) ) = -6/delta^2;
            Iidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
            Jidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
            vals(cnt) = -6/delta^2;
            cnt = cnt + 1;
            % Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x+1,idx_y , idx_z , Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
            Iidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
            Jidx(cnt) = map(idx_x+1,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
            vals(cnt) = 1/delta^2;
            cnt = cnt + 1;
            % Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x-1,idx_y , idx_z , Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
            Iidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
            Jidx(cnt) = map(idx_x-1,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
            vals(cnt) = 1/delta^2;
            cnt = cnt + 1;
            % Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y+1, idx_z , Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
            Iidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
            Jidx(cnt) = map(idx_x,idx_y+1,idx_z,Ny,Nz);
            vals(cnt) = 1/delta^2;
            cnt = cnt + 1;
            % Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y-1, idx_z , Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
            Iidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
            Jidx(cnt) = map(idx_x,idx_y-1,idx_z,Ny,Nz);
            vals(cnt) = 1/delta^2;
            cnt = cnt + 1;
            % Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y , idx_z+1, Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
            Iidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
            Jidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z+1,Ny,Nz);
            vals(cnt) = 1/delta^2;
            cnt = cnt + 1;
            % Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y , idx_z-1, Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
            Iidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
            Jidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z-1,Ny,Nz);
            vals(cnt) = 1/delta^2;
            cnt = cnt + 1;

        end
    end
end
Tsparse = sparse(Iidx, Jidx, vals, Nx*Ny*Nz, Nx*Ny*Nz);

提前感谢您的建议

--dx.dy.dz

---

（旁注：“map”函数用于从三维坐标系（x，y，z）到1D值。假设我的特征值问题是H psi=E psi，其中H是哈密顿矩阵，psi是向量，E是标量。矩阵H=T+V（代码示例中没有显示V，只有T是）写在3D psi函数离散化并从3D折叠到1D的基础上。例如，假设我每个维度只有2个网格点，因此x=1:1:2，y=1:1:2，z=1:1:2。然后我的哈密顿量写在基础{psi（1,1,1,1），psi（1,1,2），psi（1,2,2），psi（2,1），psi（2,2）}，也就是说，它是一个8乘8的矩阵。eigs（）解算器输出的特征向量psi将是一个8分量向量，如果我愿意，我可以将其重塑回2x2x2矩阵。）

我想我可以给出一些建议：

>P>而不是你自己的映射，你可以考虑<代码>子2In<／代码>函数
。
• 您反复调用

  map（idx_x，idx_y，idx_z，Ny，Nz）

  -确保您可以存储它以供重用

• 此外，邻居的相对位置将保持不变-无需重新计算

举个小例子，我会这样做：

siz = [4,4,4];

pos = sub2ind(siz,1,1,1)

tmp = [
    sub2ind(siz,2,1,1)-pos
    sub2ind(siz,1,2,1)-pos
    sub2ind(siz,1,1,2)-pos
    ];

neighbors = [tmp;-tmp];
%%
big_dim = prod(siz);
mat = sparse(big_dim,big_dim);
%%
for i=2:siz(1)-1
    for j=2:siz(2)-1
        for k=2:siz(3)-1
            c_pos = sub2ind(siz,i,j,k);
            mat(c_pos,c_pos)=-6;
            c_neighbors=c_pos+neighbors;
            mat(c_pos,c_neighbors)=1;
        end
    end
end