无法在Matlab中求解非线性方程组

我正在使用Matlab符号工具箱及其求解函数，试图求解一个由4个方程组成的非线性系统

有4个变量：

x1 y1 x2 y2

和4个参数

 delta1 delta2 alpha beta

下图描述了这些方程：

以下是Matlab代码：

syms x1 x2 y1 y2 alpha beta delta1 delta2

[x1,y1,x2,y2] = solve('delta1 * x1^alpha * y1^(1 - alpha) = (1 - x2)^alpha * (1 - y2)^(1-alpha)',...
    'delta2 * x2^alpha * y2^(1 - alpha) = (1 - x1)^beta* (1 - y1)^(1-beta)',...
    'alpha / (1-alpha) * (1 - y2) / (1 - x2) = beta / (1 - beta) * y2/x2',...
    'alpha / (1-alpha) * y1 / x1 = beta / (1 - beta) * (1 - y1) / (1 - x1)','x1','y1','x2','y2')

Matlab返回：

警告：找不到显式解决方案

>在81岁的时候，他被解救了

但是，如果我尝试将

alpha

和

beta

替换为

0.5

[x1,y1,x2,y2] = solve('delta1 * x1^0.5 * y1^ 0.5 = (1 - x2)^0.5* (1 - y2)^0.5',...
    'delta2 * x2^0.5 * y2^0.5 = (1 - x1)^0.5* (1 - y1)^0.5',...
    '(1 - y2) / (1 - x2) = y2/x2',...
    'y1 / x1 = (1 - y1) / (1 - x1)','x1','y1','x2','y2')

然后Matlab将给出结果

所以我想知道：

这些方程真的不可解吗

如果它可以解决，我是否以错误的方式使用Matlab符号工具箱？Matlab实际上可以解决这个问题

如果Matlab不能解决这个问题，还有其他工具可以解决非线性方程组吗

---

您应该试试Matlab的

mupad

命令。它打开了一个类似于Maple的符号编程环境，比符号库强大得多。如果你的方程有解（即使是一些假想的，或者如果它们有解是真正的特殊情况），符号环境肯定会找到它们

试试看

编辑： 看到@woodchips的答案（在这方面似乎比我知道得多！）你也可以尝试解已知α-β范围的方程。您可以假设它们将具有哪些值，并从一个范围内进行迭代。我只是不知道它是否会起作用，这正是我在你的情况下所要做的

---

仍然不要停止使用

mupad

，它可能会起作用（如果你做了一些假设，比如：

假设alpha real

类命令。只需查看帮助即可）

你应该试试Matlab的

mupad

命令。它打开了一个类似于Maple的符号编程环境，比符号库强大得多。如果你的方程有解（即使是一些假想的，或者如果它们有解是真正的特殊情况），符号环境肯定会找到它们

试试看

编辑： 看到@woodchips的答案（在这方面似乎比我知道得多！）你也可以尝试解已知α-β范围的方程。您可以假设它们将具有哪些值，并从一个范围内进行迭代。我只是不知道它是否会起作用，这正是我在你的情况下所要做的

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仍然不要停止尝试使用

mupad

，它可能会起作用（如果你做了一些假设，比如：

假设alpha real

类命令。只需查看帮助即可）

几乎可以肯定，不，这些是不可解析解的。除非alpha和beta是1或0（或显然是1/2），否则这些方程将相当于解析解的高阶数，尽管我无法在不仔细观察的情况下确定这一点。但对于通用real alpha来说，这太难了

是的，我知道电脑体积大，速度快，功能强大。他们什么都能做，对吗？但是看看当你试图解决这样的联立多项式方程时会发生什么

例如，当您消除其中一个未知数时，两个未知数中的两个二次方程将简化为四阶方程。一个具有非常系数的四阶多项式方程是可解的。但是你有四个方程，每个方程本质上都是二次方程。（每个方程中都有变量的乘积。）因此，如果你试图用符号的方式求解，其中4个将等价于一个八阶多项式。它将具有一般的非常数系数。我们知道一个五阶或更高的多项式通常不会有解析解。所以，虽然你可能会很幸运，也许对于一些特殊的alpha和beta值，几乎可以肯定的是，没有这样的解析解

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而对于一般真实阿尔法来说，情况更糟。根本不存在解决方案的期望。事实上，当你尝试，它失败了支持这一点。但是，嘿，一台更大的计算机可能会找到答案。抱歉，但不是真的。

几乎可以肯定，不，这些都不是解析解。除非alpha和beta是1或0（或显然是1/2），否则这些方程将相当于解析解的高阶数，尽管我无法在不仔细观察的情况下确定这一点。但对于通用real alpha来说，这太难了

是的，我知道电脑体积大，速度快，功能强大。他们什么都能做，对吗？但是看看当你试图解决这样的联立多项式方程时会发生什么

例如，当您消除其中一个未知数时，两个未知数中的两个二次方程将简化为四阶方程。一个具有非常系数的四阶多项式方程是可解的。但是你有四个方程，每个方程本质上都是二次方程。（每个方程中都有变量的乘积。）因此，如果你试图用符号的方式求解，其中4个将等价于一个八阶多项式。它将具有一般的非常数系数。我们知道一个五阶或更高的多项式通常不会有解析解。所以，虽然你可能会很幸运，也许对于一些特殊的alpha和beta值，几乎可以肯定的是，没有这样的解析解

而对于一般真实阿尔法来说，情况更糟。根本不存在解决方案的期望。事实上，当你尝试，它失败了支持这一点。但是，嘿，一台更大的计算机可能会找到答案。对不起，不是真的