Matlab SVD的单边Jacobi实现

我正在尝试编写奇异值分解（SVD）的一个简单实现。我使用单边雅可比算法，因为它看起来很简单。描述了算法，有一个简单的Matlab代码（练习4）。我已经实现了相同的代码，它工作正常，我的意思是SVD（A）=U*S*V'（或使用的任何其他符号），对于某些矩阵，结果与Matlab的SVD产生的结果相同（除了此函数不排序奇异值）。但我的问题是，当矩阵A的奇异值为0时，U和V不再是应该的酉矩阵

是否有办法更新此算法，使其也适用于奇异值为0的情况？如果没有，是否有另一种SVD算法同样容易实现？ 感谢您的帮助

这是我的Matlab代码，它与上面链接中的代码基本相同，刚刚完成，只是做了一些小改动

function [U,S,V] = jacobi_SVD(A)
  TOL=1.e-4;
  n=size(A,1);
  U=A';
  V=eye(n);
  converge=TOL+1;
  while converge>TOL
  converge=0;
  for i=1:n-1
    for j=i+1:n
      % compute [alpha gamma;gamma beta]=(i,j) submatrix of U*U'
      alpha=sumsqr(U(i, :)); 
      beta=sumsqr(U(j, :));
      gamma=sum(U(i, :).* U(j, :));
      converge=max(converge,abs(gamma)/sqrt(alpha*beta));

      % compute Jacobi rotation that diagonalizes 
      %    [alpha gamma;gamma beta]
      zeta=(beta-alpha)/(2*gamma);
      t=sign(zeta)/(abs(zeta)+sqrt(1+zeta^2));
      c= 1.0 / (sqrt(1 + t * t));
      s= c * t;

      % update columns i and j of U
      t=U(i, :);
      U(i, :)=c*t-s*U(j, :);
      U(j, :)=s*t+c*U(j, :);

      % update matrix V of right singular vectors
      t=V(i, :);
      V(i, :)=c*t-s*V(j, :);
      V(j, :)=s*t+c*V(j, :);
    end
  end
end

% the singular values are the norms of the columns of U
% the left singular vectors are the normalized columns of U
for j=1:n
  singvals(j)=norm(U(j, :));
  U(j, :)=U(j, :)/singvals(j);
end
S=diag(singvals);
U = U';
V = V'; %return V, not V'
end

---

我不能让你的代码运行，因为当你计算alpha和beta时，你有你没有定义的sumsq。我在Matlab上找到了一些简单的代码，它使用QR分解（Gram schmidt）

现在看起来就像你有零。但如果你仔细看

format long 
>> S(4,4)

ans =

     3.418057860623250e-16


   S(5,5)

ans =

     9.725444388260210e-17

---

我会注意到，这是机器ε，对于所有密集型用途，它是0

我解决了这个问题，它应该是Matlab中的sumsqr，它是八度的sumsq。但其余的应该是一样的。我知道奇异值可以是0，但我的问题是当一列U用Jacobi方法变成0时。谢谢你的代码，我宁愿有一个不使用其他功能（如QR）的实现，但如果我能找到其他方法，我会使用这个，因为结果似乎是好的！你能举个例子吗？只有当奇异值正好为0时才会发生。我想修正的一个例子是A=0（例如3x3的0矩阵），其中U和V必须是I，但由于被0除，代码返回NaN。这里是另一个例子，其中d和v是正确的，但U的一列是NaN A=0.064-0.53-0.0 0.57 0.065 0.0 0 0.0.23-0.23 0.0我不确定这是否与代码有关，但雅可比方法的工作方式正确。

A = randn(5,3)*randn(5,3);
[U,S,Vt] = svdsim(A,1e-8);


S =

    6.3812         0         0         0         0
         0    2.0027         0         0         0
         0         0    1.0240         0         0
         0         0         0    0.0000         0
         0         0         0         0    0.0000

format long 
>> S(4,4)

ans =

     3.418057860623250e-16


   S(5,5)

ans =

     9.725444388260210e-17