Matlab 将矩阵分解为初等矩阵

MATLAB、Maple或Mathematica中是否有这样的软件包？

MATLAB中有许多因子分解/分解函数（参见“特征值和奇异值”和“矩阵分解”下的列表），例如，仅举几个例子。

Mathematica文档中的页面列出了所有内置矩阵分解函数，如、、等

嗯

我想，所谓“基本”矩阵，你指的只是那些进行行交换、行乘法和行加法等基本运算的矩阵

您可能有兴趣知道这是PLU分解（因式分解）结果的一部分。来自PLU分解的U是高斯消去的结果，而PLU分解只是伪装的GE。PLU分解的P和L对完成GE所需的元素操作进行编码。所有的Maple、Matlab和Mathematica都有一个很好的PLU分解例程。所以你可以得到基本因子

现在让我们假设我们不需要进行任何行交换。给定矩阵M，我们可以得到下三角L和上三角M。位于主对角线下方的L的项是用来构造初等行加法矩阵的值

最后是Maple代码，展示了如何实现这一点。有三组基本矩阵在那里生成。第一组，在表T1中，是由于将M转换为行梯队形式的GE步骤，来自于使用M的PLU分解L的

l1

L。这是完成的下三角。接下来我们将转置u1，M的PLU分解的U，以便处理M的上三角

表T2中的第二组基本行加法矩阵是由于将u1^%T（从M的PLU分解得到的U的转置）转换为行梯队形式的GE步骤。它们是使用u1^%T的PLU分解的L中的

l2

项构建的

这只剩下u1^%T的PLU分解的U

u2

。它是一个对角矩阵（如果没有执行行交换）。因此，我们为

u2

的每一行构造基本行缩放矩阵

最后，我们可以把它们按正确的顺序排列，然后将它们相乘。请注意，T2矩阵以相反的顺序出现，因为它们必须相乘以形成u1^%T。同样，T3出现在T1和T2集合之间，因为T3构造

u2

作为以后的编辑，这里是一个Maple程序。现在它根据排列结果生成行交换矩阵。它不会返回一些不必要的因素，而这些因素恰好就是身份

请注意，这适用于精确矩阵，而不是浮点矩阵（对于这些矩阵，您的里程数可能会有所不同，这取决于如何按大小选择轴以及如何进行比较）

ElemDecomp:=proc（M:：矩阵（正方形））
局部p1，u1，i，j，T1，T2，T3，p2，m，n，lu1，lu2，p1，p2；
使用线性文胸；
（m，n）：=尺寸（m）；
p1，lu1:=LUDecomposition（M，output=['：-NAG']）；
对于从1到m-1的i
对于j，从1到i
如果lu1[i+1，j]0，那么
T1[i*j]：=IdentityMatrix（m，compact=false）；
T1[i*j][i+1，j]：=lu1[i+1，j]；
如果结束；
结束do；结束do；
因为我从1到m做
如果p1[i]i那么
P1[i]：=IdentityMatrix（m，compact=false）；
P1[i][P1[i]，i]，P1[i][i，P1[i]]：=1,1；
P1[i][P1[i]，P1[i]]，P1[i][i，i]：=0,0；
如果结束；
结束do；
u1:=矩阵（lu1，形状=三角形[上]）；
p2，lu2:=LUDecomposition（u1^%T，output=['：-NAG']）；
对于从1到m-1的i
对于j，从1到i
如果lu2[i+1，j]0，那么
T2[i*j]：=IdentityMatrix（m，compact=false）；
T2[i*j][i+1，j]：=lu2[i+1，j]；
如果结束；
结束do；结束do；
因为我从1到m做
如果lu2[i，i]1那么
T3[i]：=IdentityMatrix（m，compact=false）；
T3[i][i，i]：=lu2[i，i]；
如果结束；
结束do；
因为我从1到m做
如果p2[i]i那么
P2[i]：=IdentityMatrix（m，compact=false）；
P2[i][P2[i]，i]，P2[i][i，P2[i]]：=1,1；
P2[i][P2[i]，P2[i]]，P2[i][i，i]：=0,0；
如果结束；
结束do；
`如果`（类型（P1，表格），条目（P1’：-nolist'），NULL），
seq（seq（`if`（赋值为T1[i*j]），T1[i*j]，NULL），j=1..i，i=1..m-1），
seq（`if`（赋值（T3[i]），T3[i]，NULL），i=1..min（m，n）），
seq（seq（`if`（赋值为T2[i*j]），T2[i*j]^%T，NULL），j=i..1，-1，i=m-1..1，-1），
`如果`（类型（P2，表格），条目（P2’：-nolist'），则为NULL；
结束程序：
A:=线性代数：-随机矩阵（3，生成器=1..4）；
ElemDecomp（A）；
线性代数：-常模（`.`（%）-A）；

别忘了SVD（奇异值分解）！别忘了Cholesky分解！嗯，我确实链接到了。你们真的想让我在这里重打一遍吗=P

ElemDecomp:=proc(M::Matrix(square))
local p1,u1,i,j,T1,T2,T3,p2,m,n,lu1,lu2,P1,P2;
uses LinearAlgebra;
  (m,n):=Dimensions(M);
  p1,lu1:=LUDecomposition(M,output=[':-NAG']);
  for i from 1 to m-1 do
    for j from 1 to i do
      if lu1[i+1,j]<>0 then
        T1[i*j]:=IdentityMatrix(m,compact=false);
        T1[i*j][i+1,j]:=lu1[i+1,j];
      end if;
  end do; end do;
  for i from 1 to m do
    if p1[i]<>i then
      P1[i]:=IdentityMatrix(m,compact=false);
      P1[i][p1[i],i],P1[i][i,p1[i]]:=1,1;
      P1[i][p1[i],p1[i]],P1[i][i,i]:=0,0;
    end if;
  end do;
  u1:=Matrix(lu1,shape=triangular[upper]);
  p2,lu2:=LUDecomposition(u1^%T,output=[':-NAG']);
  for i from 1 to m-1 do
    for j from 1 to i do
      if lu2[i+1,j]<>0 then
        T2[i*j]:=IdentityMatrix(m,compact=false);
        T2[i*j][i+1,j]:=lu2[i+1,j];
      end if;
  end do; end do;
  for i from 1 to m do
    if lu2[i,i]<>1 then
      T3[i]:=IdentityMatrix(m,compact=false);
      T3[i][i,i]:=lu2[i,i];
    end if;
  end do;
  for i from 1 to m do
    if p2[i]<>i then
      P2[i]:=IdentityMatrix(m,compact=false);
      P2[i][p2[i],i],P2[i][i,p2[i]]:=1,1;
      P2[i][p2[i],p2[i]],P2[i][i,i]:=0,0;
    end if;
  end do;
  `if`(type(P1,table),entries(P1,':-nolist'),NULL),
  seq(seq(`if`(assigned(T1[i*j]),T1[i*j],NULL),j=1..i),i=1..m-1),
  seq(`if`(assigned(T3[i]),T3[i],NULL),i=1..min(m,n)),
  seq(seq(`if`(assigned(T2[i*j]),T2[i*j]^%T,NULL),j=i..1,-1),i=m-1..1,-1),
  `if`(type(P2,table),entries(P2,':-nolist'),NULL);
end proc:

A:=LinearAlgebra:-RandomMatrix(3,generator=1..4);

ElemDecomp(A);

LinearAlgebra:-Norm( `.`(%) - A);