Matlab 高斯函数不定积分的数值积分

我的方法

fun = @(y) (1/sqrt(pi))*exp(-(y-1).^2).*log(1 + exp(-4*y))
integral(fun,-Inf,Inf)

这给了南

所以我试着策划它

y= -10:0.1:10;
plot(y,exp(-(y-1).^2).*log(1 + exp(-4*y)))

然后理解域（重要部分）是从-4到+4

所以把限制改为

integral(fun,-10,10)

---

然而，我不想总是绘制图形，然后知道它的限制。那么有没有办法直接知道从-Inf到Inf的积分呢？

一个快速而肮脏的解决方案就是寻找一个函数足够小的位置，然后把它作为极限。这假设对于

x>0

而言，函数

fun

每月减少，并且

fun（x）

与

fun（-x）

的大小大致相同

%// A small number
epsilon = eps;
%// Stepsize for searching bound
stepTest = 1;
%// Starting position for searching bound
position = 0;
%// Not yet small enough
smallEnough = false;

%// Search bound
while ~smallEnough
   smallEnough = (fun(position) < eps);
   position = position + stepTest;
end

%// Calculate integral
integral(fun, -position, position)

%//一个小数字
epsilon=eps；
%//搜索边界的步长
逐步检验=1；
%//搜索边界的起始位置
位置=0；
%//还不够小
足够小=错误；
%//搜索范围
而我却足够小
足够小=（乐趣（位置）

如果您对绘制函数感到满意，并通过肉眼确定可以剪切的位置，那么我想这段代码就足够了。

如果你的积分总是

我会用高阶的。 它类似于Gauss-Legendre-Kronrod规则，该规则构成了标准高斯乘法器的基础，但专门针对实线上的积分

用替换x=y-1重写方程，我们得到

然后可以使用任意阶的高斯-厄米特规则（合理范围内）计算积分：

我要注意的是，下面的函数构建了一个完整的

顺序x顺序

矩阵来计算

节点

，因此它不应该太大。 有一种方法可以通过显式计算权重来避免这种情况，但我决定懒惰。 此外，在100阶事件中，高斯乘数约为

2E-98

，因此被积函数的贡献极小。 虽然这不是天生的适应性，但在大多数情况下，高阶规则应该足够了。。。我希望如此

代码

函数[节点，权重]=GaussHermiteRule（n）
% ------------------------------------------------------------------------------
%求Gauss-Hermite求积的节点和权重。
%
if（n<1）
错误（'不存在阶数为0的高斯-埃尔米特规则'）；
elseif（n<0）| |（abs（n-round（n））>eps（））
错误（'给定的顺序“n”必须是严格的正整数'）；
其他的
n=圆形（n）；
结束
%从Golub-Welsch函数中获取节点和权重
n=（0:n）'；
b=n*0；
a=b+0.5；
c=n；
[节点，权重]=GolubWelsch（a，b，c，sqrt（pi））；
结束
函数[xk，wk]=GolubWelsch（ak，bk，ck，mu0）
%高卢布尔希
%计算正交矩阵的近似*节点和权重（归一化为1）
%由形式的三项递归关系定义的多项式族
%x pk（x）=ak pkp1（x）+bk pk（x）+ck pkm1（x）
%   
%权重比例因子mu0是权重函数在
%正交域。
%
%计算多项式的正交版本的项
α=sqrt（ak（1:end-1）。*ck（2:end））；
%建立对称三对角矩阵
T=满（spdiags（[[alpha；0]，bk[0；alpha]]，[-1,0，+1]，长度（alpha），长度（alpha））；
%计算矩阵的特征向量和值
[V，xk]=eig（T，'vector'）；
%根据特征向量计算权重-技术上，Golub Welsch要求
%标准化，但由于MATLAB返回单位特征向量，因此省略了它。
wk=mu0*（V（1，：）.^2）'；
结束

我已经成功地使用数值变量转换来转换此类无限有界积分，如数值公式3e第4.5.3节所述。基本上，代入y=c*tan（t）+b，然后对t进行数值积分（-pi/2，pi/2），从而将y从-无穷大扫到无穷大。您可以调整c和b的值以优化流程。这种方法在很大程度上回避了试图在域中确定截止值的问题，但为了使用求积法可靠地工作，您必须知道被积函数没有远离y=b的特征。

您看到函数在[-25；-20]范围内时会发生什么吗？函数值非常小。。比如1.0e-190 at-20。在-25时，它几乎为零。很容易看出，对于

x>0

，函数实际上是单非的。我认为在这种情况下，

xin的单调性是的，但这个问题意味着任何函数都有一个通用的解决方案——缺少符号积分（可能有效，也可能无效），这将是很困难的IMO@bepracticalalwayz很抱歉，我最初误读了你的函数，它在-25发射，请忽略以下评论：）单调性是一个很强的假设！你是对的。为了使代码正常工作，假设存在一个点
x
，使得从
x
到无穷大的积分在
fun
上可以忽略不计。
>> order           = 10;
>> [nodes,weights] = GaussHermiteRule(order);
>> f               = @(x) log(1 + exp(-4*(x+1)))/sqrt(pi);
>> sum(f(nodes).*weights)
ans =
    0.1933

function [nodes,weights] = GaussHermiteRule(n)
    % ------------------------------------------------------------------------------
    %  Find the nodes and weights for a Gauss-Hermite Quadrature integration.
    %

    if (n < 1)
        error('There is no Gauss-Hermite rule of order 0.');
    elseif  (n < 0) || (abs(n - round(n)) > eps())
        error('Given order ''n'' must be a strictly positive integer.');
    else
        n = round(n);
    end

    %   Get the nodes and weights from the Golub-Welsch function
    n = (0:n)'  ;
    b = n*0     ;
    a = b + 0.5 ;
    c = n       ;
    [nodes,weights] = GolubWelsch(a,b,c,sqrt(pi));

end


function [xk,wk] = GolubWelsch(ak,bk,ck,mu0)
    %GolubWelsch
    %   Calculate the approximate* nodes and weights (normalized to 1) of an orthogonal 
    %   polynomial family defined by a three-term reccurence relation of the form
    %       x pk(x) = ak pkp1(x) + bk pk(x) + ck pkm1(x)
    %   
    %   The weight scale factor mu0 is the integral of the weight function over the
    %   orthogonal domain.
    %

    %   Calculate the terms for the orthonormal version of the polynomials
    alpha = sqrt(ak(1:end-1) .* ck(2:end));

    %   Build the symmetric tridiagonal matrix
    T = full(spdiags([[alpha;0],bk,[0;alpha]],[-1,0,+1],length(alpha),length(alpha)));

    %   Calculate the eigenvectors and values of the matrix
    [V,xk] = eig(T,'vector');

    %   Calculate the weights from the eigenvectors - technically, Golub-Welsch requires
    %   a normalization, but since MATLAB returns unit eigenvectors, it is omitted.
    wk = mu0*(V(1,:).^2)';

end