MATLAB：求解一系列方程以系统地调整概率估计

我正在尝试编写一个MATLAB代码，它将估计的概率

x

和

y

映射到一组调整后的概率

p

和

q

通常输入概率

x

和

y

加起来不会等于1，因此代码的要点是调整概率，使它们加起来等于1

下面是一个示例，其中

x+y=1.03

syms n p q x y
eqn1 = x == 0.7813;
eqn2 = y == 0.2487;
eqn3 = p^n == x;
eqn4 = q^n == y;
eqn5 = log(x)./log(p) == log(y)./log(q);
eqn6 = x^(1/n) == p;
eqn7 = y^(1/n) == q;
eqn8 = p + q == 1;

sol = solve([eqn1, eqn2, eqn3, eqn4, eqn5, eqn6, eqn7, eqn8], [n p q x y])

值

n

同时应用于x和y，它有意地“向下推”低概率估计，而不是高概率估计

我知道在上面的例子中答案应该是

n≈0.946139，p≈0.7704，q≈0.2297

，但无法编写任何生成此类输出的代码

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上面的代码生成一个空结构。我还尝试了

vpasolve

，但同样无效。我不确定我的解决方案是否失败，是因为我错误地指定了问题，还是因为我在MATLAB中使用了错误的函数类型。

这里的方程中有很多冗余

eqn6

和

eqn7

分别表示

eqn3

和

eqn4

。此外，

eqn3

和

eqn4

意味着

eqn5

。我们也不需要

eqn1

和

eqn2

，它们将

x

和

y

定义为常量，因为使用直接替换可以更有效地处理这些常量。我想这些冗余是MATLAB变得混乱的原因，但我不太确定

另外，使用符号工具箱可能有点过分，因为可能没有封闭形式的解决方案，但如果必须的话，这里有一个解决方案

x = 0.7813;
y = 0.2487;
syms n p q
eqn6 = x^(1/n) == p;
eqn7 = y^(1/n) == q;
eqn8 = p + q == 1;
sol = solve([eqn6, eqn7, eqn8], [p q n]);

p = sol.p
q = sol.q
n = sol.n

结果：

Warning: Cannot solve symbolically. Returning a numeric approximation instead. 
> In solve (line 304)
  In q51941792_2 (line 7) 
p = 0.77034051295869623476715256144042
q = 0.22965948704130376523284743855958     
n = 0.94585921162748018347665683036153

p = 0.770340512958696
q = 0.229659487041304
n = 0.945859211627480

请注意，解算器无法找到闭合形式的解，因此它默认为数值优化方法

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如果您有优化工具箱，那么您可以使用更合适（更快）的工具箱。要使用

fsolve

您需要定义一个函数，该函数接受一个输入向量并返回一个输出向量。

fsolve

的目标是找到导致所有零输出的输入向量。我们重新排列

eqn6

、

eqn7

和

eqn8

以形成此函数。您可以阅读文档以了解更多信息

x = 0.7813;
y = 0.2487;

% define optimization function assumes ary = [p, q, n]
f = @(ary) [x^(1/ary(3)) - ary(1); ...   % eqn6
            y^(1/ary(3)) - ary(2); ...   % eqn7
            ary(1) + ary(2) - 1];        % eqn8

% initial estimate
p0 = x;
q0 = y;
n0 = 1;

% solve
fsolve_opts = optimoptions('fsolve', 'OptimalityTolerance', 0, 'FunctionTolerance', 1e-12);
sol = fsolve(f, [p0; q0; n0], fsolve_opts);

p = sol(1)
q = sol(2)
n = sol(3)

结果：

Warning: Cannot solve symbolically. Returning a numeric approximation instead. 
> In solve (line 304)
  In q51941792_2 (line 7) 
p = 0.77034051295869623476715256144042
q = 0.22965948704130376523284743855958     
n = 0.94585921162748018347665683036153

p = 0.770340512958696
q = 0.229659487041304
n = 0.945859211627480

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解的存在性

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有些情况下不存在解决方案。例如，如果

x>1

和

y>0&y<1

则

p

和

q

均为正，但其中一个大于1（取决于

n

的值），但这与

eqn8

相矛盾，因此不存在解决方案。如果你想使用这种方法，你需要有一个解决方案存在的保证。我相信一个充分条件是

x

和

y

都在0和1之间，尽管我还没有证明它。

当solve返回空结构时，没有警告意味着没有解决方案，如果有警告，解算器没有找到解决方案，但解决方案存在。你收到警告了吗？