Networking 通过CRC（循环冗余校验）进行单比特错误检测

我正在研究一些与基于CRC生成器的单比特错误检测相关的问题，并试图分析哪些生成器检测到单比特错误，哪些没有

假设，如果我有一个CRC生成器多项式为x4+x2。现在我想知道它是否能保证检测到一个位错误

根据参考文献和文献，我总结了以下几点：-

1） 如果误差多项式xk的k=1,2,3，则在多项式除以生成器多项式x4+x2的情况下，余数将分别为x、x2、x3，并且根据参考文献，如果生成器有多个项且x0的系数为1，则可以捕获所有单位错误。但它并没有说，若x0的系数不是1，那个么就不能检测到单比特错误。这是说“在循环码中，那些可被g（x）整除的e（x）错误不会被捕获。”

2） 我必须检查E（x）/g（x）的剩余部分，其中E（x）（假设它是xk），其中k=1,2,3，。。。是误差多项式，g（x）是生成多项式。若余数为零，那个么我无法检测错误，若余数为非零，那个么我可以检测错误

因此，根据我的说法，生成器多项式x4+x2保证了基于上述两点的单位错误检测。请确认我是否正确

如果x0的系数不是1，那么无法检测到单比特错误

如果x0的系数不是1，则与将CRC多项式左移1（或更多）位（乘以x的某个幂）相同。将CRC多项式左移1位或更多位不会影响其检测错误的能力，它只是在码字的末尾附加1位或更多零位

生成器多项式x4+x2保证检测到单位错误

对。x4+x2是x2+1左移的两位，x4+x2=（x2）（x2+1）=（x2）（x+1）（x+1），由于x2+1可以检测任何单位错误，因此x4+x2也可以检测。还有（x+1）项（其中两项），它添加偶数奇偶校验，并可以检测任意奇数目的位错误

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通常，无论消息长度如何，所有CRC多项式都可以检测到一个位错误。所有CRC多项式都有一个“循环”周期：如果使用CRC多项式作为a的基础，且初始值为000…0001，则在固定的循环次数后，它将循环回000…0001。CRC最简单的故障是2位错误，其中2位之间的距离等于循环周期。假设一个8位CRC（9位多项式）的周期为255，那么一个2位错误，一个在位[0]处，一个在位[255]处，将导致CRC=0，并且无法检测到，这不会发生在一个位错误的情况下，它将继续通过周期，其中没有一个周期包含值0。如果周期为n个周期，则如果消息+CRC中的位数为