Opengl 透视矩阵背后的数学

我想创建自己的mvp矩阵作为练习

auto lookAt(Vec)(const Vec eye, const Vec center, const Vec up)
if(isVector!Vec && Vec.dimension is 3){
    auto z = (eye - center).unit;
    auto x = cross(up.unit, z);
    auto y = cross(z, x);
    alias Mat = Matrix!(Vec.Type, 4, 4);
    alias Vec4 = Vector!(Vec.Type, 4);
    return Mat(Vec4(x, 0),
               Vec4(y, 0),
               Vec4(z, 0),
               Vec4(0, 0, 0, 1)) * translate(-eye);
}

视图转换非常简单，我将其设置为沿负Z轴查看

但是透视矩阵有一些问题

y' = 1 / (tan(fov/2) * z
x' = 1 / (ar * tan(fov/2) * z

其中

x'

和

y'

是新的扭曲值。所以我想出了这个矩阵

Mat4f projection(float fov, float ar, float near, float far){
  import std.math: tan;
  auto tanHalfAngle = tan(fov/2.0f);
  return Mat4f(
      Vec4f(1.0f / (ar * tanHalfAngle) , 0, 0, 0),
      Vec4f(0, 1.0f / tanHalfAngle, 0, 0),
      Vec4f(0, 0, 1, 0),
      Vec4f(0, 0, -1, 0));
}

Mat4f projection(float fov, float ar, float near, float far){
  import std.math: tan;
  auto tanHalfAngle = tan(fov/2.0f);
  return Mat4f(
      Vec4f(1.0f / (ar * tanHalfAngle) , 0, 0, 0),
      Vec4f(0, 1.0f / tanHalfAngle, 0, 0),
      Vec4f(0, 0, -1, 0),
      Vec4f(0, 0, 1, 0));
}

我目前只是将其设置为

Z

值始终为

-1

。但是我犯了一个小错误，因为现在我正在除以

-Z

问题是上面的矩阵是有效的。我目前正在渲染一个旋转的立方体，除了深度值之外，一切看起来都是正确的

但我真的很想要这个矩阵

Mat4f projection(float fov, float ar, float near, float far){
  import std.math: tan;
  auto tanHalfAngle = tan(fov/2.0f);
  return Mat4f(
      Vec4f(1.0f / (ar * tanHalfAngle) , 0, 0, 0),
      Vec4f(0, 1.0f / tanHalfAngle, 0, 0),
      Vec4f(0, 0, 1, 0),
      Vec4f(0, 0, -1, 0));
}

Mat4f projection(float fov, float ar, float near, float far){
  import std.math: tan;
  auto tanHalfAngle = tan(fov/2.0f);
  return Mat4f(
      Vec4f(1.0f / (ar * tanHalfAngle) , 0, 0, 0),
      Vec4f(0, 1.0f / tanHalfAngle, 0, 0),
      Vec4f(0, 0, -1, 0),
      Vec4f(0, 0, 1, 0));
}

但是立方体不再出现在屏幕上，我不明白为什么

auto view = lookAt(Vec3f(0, 0, -5), Vec3f(0, 0, 0), Vec3f(0, 1, 0));
auto proj = projection(PI/2, 4.0f/3.0f, 0.1f, 100);

我设置测试值

auto v = proj * view * Vec4f(0.5,0.5,0.5,1);

这是我在第一个矩阵中得到的输出，其中我除以

-Z

Vec(-0.375, 0.5, -5.5, 5.5)
Vec(-0.0681818, 0.0909091, -1) // divided by w

这是我通过第二个矩阵得到的输出，其中我除以

Z

Vec(-0.375, 0.5, 5.5, -5.5)
Vec(0.0681818, -0.0909091, -1) //divided by w

唯一改变的是标志

---

但是为什么我可以看到第一个矩阵的立方体，而第二个矩阵却没有呢？

OpenGL的默认剪裁规则是在剪裁空间中制定的，因为所有满足以下不平等性的点都位于视锥体内：

-w <= x, y, z <= w

-w