Optimization 算法-找到两个数组之和之间的最小减法

我现在正在找工作，做很多算法练习。我的问题是：

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给定两个数组：长度相同的a和b，主题是通过在a和b之间交换元素，使| sum（a）-sum（b）|最小

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以下是我的想法：

假设我们交换a[i]和b[j]，设置Delt=sum（a）-sum（b），x=a[i]-b[j]
然后Delt2=sum（a）-a[i]+b[j]-（sum（b）-b[j]+a[i]）=Delt-2*x，
然后变化=|Delt |-| Delt2 |，与| Delt | ^2-| Delt2 | ^2=4*x*（Delt-x）成比例

基于上述思想，我得到了以下代码：

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然而，有谁有更好的解决方案吗？如果你得到了，请告诉我，我将非常感谢你

这个问题基本上是一个带有额外相等部分约束的优化问题。我将证明，添加此约束并不会使问题变得更容易

证明：
假设有一个算法

A

在多项式时间内解决了这个问题，我们可以在多项式时间内解决这个问题

Partition(S):
for i in range(|S|):
   S += {0}
   result <- A(S\2,S\2) //arbitrary split S into 2 parts
   if result is a partition: //simple to check, since partition is NP.
     return true.
return false //no partition

分区：
对于范围内的i（| S |）：
S+={0}
结果S+（0,0，…，0）

[k乘以0]，可以通过还原直接证明NP硬度。多项式是平凡的，正确性与上述部分的正确性证明非常相似：[如果有一个分区，添加“平衡”零是可能的；另一个方向是简单地修剪这些零]

只是一个注释。通过所有这些交换，您基本上可以根据需要排列两个数组的内容。因此，值在哪个数组中开始并不重要

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我脑子里想不出来，但我确信有一个建设性的解决方案。我想如果你先把它们分类，然后按照某种规则处理它们。如果值为0，如果和（a）>和（b），那么将a的其他元素插入到b中

您的问题相当于“给定一个长度为2*n且和（a）=2*S的数组a，在数组中精确地找到n个元素，其总数尽可能接近S。”这看起来像是伪装的背包问题。@n.m.更像马克提到的分区问题。。。但是还有一个额外的限制：相同数量的元素…@amit：我不确定它是如何像分区问题一样，具有相同数量的元素约束。我看到的是“从每对元素中只取一个元素”约束，而不是“只取所有元素的一半”约束。这两者可能是等价的，但可能是以某种非平凡的方式。@amit:Oops，我还没有意识到允许在不同的位置交换元素。这确实是一个不同的问题。如果TS自己发明了这个问题，那就这样吧；如果不是，我猜问题作者的意图是只允许在同一位置交换元素。这样做更自然。我相信你的缩进搞错了-你为什么要执行

result@jpalecek：我每一步执行
A（s/2，s/2）
一次，然后用
k
零的数量检查可能的解决方案，其中
k
是迭代的数量。这里我并没有使用约简，我在证明，如果存在这样一个算法，P=NP，这相当于说这个算法是NP难的。[因为它显然是NP，如果P=NP，那么P=NP=NP完全]问题是，你必须用一个约化来证明NP硬度，因为NP硬度是根据约化定义的。你已经证明了P^A中的分区是NP完全的，但这并不意味着（至少不是直接的）A是NP完全的。此外，如果你只是把所有的零加起来，问一次A，也会有效，你会得到一个减少。@jpalecek：我编辑了答案，并添加了你建议的减少。我几乎可以肯定有一个定理，如果对于某个问题：多项式解->P=NP，那么这个问题是NP难的[虽然我记不起是哪个定理，所以我可能是错的]。无论如何，我很感谢你的评论，你建议的降价方法要简单得多。@jpalacek：我不认为阿米特的降价有什么问题（尽管你的降价方法肯定更简单）。根据Wikipedia页面，一个NP完全问题（如划分）到目标问题的多项式时间图灵可约性足以证明目标问题是NP难的。图灵可约性允许对目标问题进行多项式次数的调用。对于NP完备性，只需要多个一次约简（最终只允许对目标问题进行一次调用）。
Partition(S):
for i in range(|S|):
   S += {0}
   result <- A(S\2,S\2) //arbitrary split S into 2 parts
   if result is a partition: //simple to check, since partition is NP.
     return true.
return false //no partition