Php 用循环不变量（归纳法）证明正确性

我自己编写了一个简单的小函数（为了方便起见，php），希望有人能帮助我通过归纳法为它构造一个证明，这样我就可以对它有一个非常基本的了解

function add_numbers($max) {
  //assume max >= 2
  $index=1;
  $array=array(0);
  while ($index != $max) {
     //invariant: ∀ k:1 .. index-1, array[k]=array[k-1]+1
     $array[$index] = $array[$index-1]+1;
     $index += 1;
  }
}

结果是每个索引处的值与索引本身相同，只是因为[0]被初始化为0

我相信我们的目标是（或应该是）证明不变量（它本身可能是可疑的，但希望能得到正确的答案）适用于k+1

谢谢

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编辑：示例：

可能是这样的，尽管这有点迂腐

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不变量：当index=n时，对于n>=1（在它检查条件的循环的顶部），array[i]=i表示0=1（在它检查条件的循环的顶部），array[i]=i+63表示0之类的，尽管这有点迂腐

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不变量：当索引=n时，对于n>=1（在检查条件的循环顶部），数组[i]=i表示0=1（在检查条件的循环顶部），数组[i]=i+63表示0，我不知道归纳证明的含义。如果你能解释一下，也许我能帮你……。@J.Bruni，看看归纳法证明。我不知道归纳法证明是什么意思。如果你能解释一下，也许我能帮你…。@J.Bruni，看看归纳法的证明。我可能是错的，但由于不变量最初的范围是1到0，基本情况可能是空的。可能会不公平地利用数组[0]=0的便利性——我认为“数组[k-1]是（k-1+1）=k”这一行可能是错误的，因为我们知道数组[k-1]=K我还希望看到k+1出现在归纳步骤的数学中？@ElrondElve从某种意义上说，基本情况是完全正确的，因为你保证它在执行循环体之前是正确的。在执行循环体之前使用程序状态决不是不公平的，只要您能说服我它就是您所说的。还有，是的；似乎有一个数组[k-1]，其中应该有一个数组[k]；我会去办公室修的。请注意，在归纳法中，基本情况证明通常与归纳法具有不同的性质。。。别让这件事牵扯到你。在这里，程序上下文/状态是一种有效的方法。也许我应该说的是，它也必须能够更普遍地处理它，因为数组[0]的值也可能是63。我可能是错的，但由于不变量最初的范围是1到0，基本情况可能完全正确。可能会不公平地利用数组[0]=0的便利性——我认为“数组[k-1]是（k-1+1）=k”这一行可能是错误的，因为我们知道数组[k-1]=K我还希望看到k+1出现在归纳步骤的数学中？@ElrondElve从某种意义上说，基本情况是完全正确的，因为你保证它在执行循环体之前是正确的。在执行循环体之前使用程序状态决不是不公平的，只要您能说服我它就是您所说的。还有，是的；似乎有一个数组[k-1]，其中应该有一个数组[k]；我会去办公室修的。请注意，在归纳法中，基本情况证明通常与归纳法具有不同的性质。。。别让这件事牵扯到你。在这里，程序上下文/状态是一种有效的方法。也许我应该说的是，它也必须能够更普遍地处理它，因为数组[0]的值也可能是63。

function add_numbers($max) {
  //assume max >= 2
  $index=1;
  $array=array(63);
  while ($index != $max) {
     //invariant: ∀ k:1 .. index-1, array[k]=array[k-1]+1
     $array[$index] = $array[$index-1]+1;
     $index += 1;
  }
}