在python中沿参数化曲线查找给定弧距离的位置

我有一条参数化的二维曲线： （x，y）=f（t）

函数f是任意的，但可微，因此我可以用标准公式计算出沿曲线任意点的微分弧长ds。通过数值积分微分弧长公式，我还可以得到从起点到曲线上任意点的总弧长S（t）。我可以控制计算的准确性

我想找到一个点（x，y），它的总弧长是S=D，从曲线的开始。如果用python实现，效果会更好。我会做很多次，这是一个计算应用程序的一部分，我需要严格控制精度和一些收敛的信心

我不知道根查找是否是最好的方法，但我的问题相当于g（t）=S（t）-D的根查找问题，其中函数g（t）没有精确计算，因为S（t）没有。不精确函数求值不仅影响精度，而且影响g（t）的单调性。我从一开始就试着做严格的数值积分，但这需要很长时间。我很确定，要收敛到我所要求的容差，根查找算法必须在进行时惰性地控制积分精度，在开始时要求草率的计算，并随着根算法的收敛而提高精度

有现成的吗？有没有其他聪明的方法

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感谢您的帮助

您能发布一些代码，并告诉我们它有什么问题吗

这是我计算t的版本，其中S（t）==D：

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好的，@HYRY，这是一段主要基于您的代码片段。你给了我成功所需的提示：使用“quad”而不是“quadrature”。所以我至少会投票支持你的答案，但我想补充一点

首先，您的代码运行速度很快，但比我所追求的精度差了五位左右。我在您的示例中添加了quadtol和optol，试图说明求积和求根精度的相互作用。我还添加了一个基于默认高公差的循环，以暴露速度差异

sin示例在精度上比圆更敏感。我还添加了一条paremerized曲线，其弧长由超几何函数给出，“brentq”选项被注释掉，因为在这个例子中fsolve失败，而且在任何情况下，brentq在这个任务中都相等或更好

“求积”是缓慢的，但表现出预期的行为：寻根速度、精度和成功率随求积公差而变化

相比之下，“quad”似乎忽略了所要求的容差，并始终生成更准确的答案。这种未经要求的准确性可能会让人恼火，也可能会引起解释，但它对示例的作用如此之快，以至于我不确定我的问题是否有趣。谢谢

from scipy.integrate import quad, quadrature
from scipy.optimize import fsolve, brentq 
from math import cos, sin, sqrt, pi, pow

def circle_diff(t): 
    dx = -sin(t) 
    dy = cos(t) 
    return sqrt(dx*dx+dy*dy) 

def sin_diff(t): 
    dx = 1 
    dy = cos(t) 
    return sqrt(dx*dx+dy*dy) 

def hypergeom_diff(t):
    """ y = t^5 x = t^3 """
    dx = 3*t*t
    dy = 5*pow(t,4)
    return sqrt(dx*dx+dy*dy)

def curve_length(t0, S, length,quadtol): 
    integral = quad(S, 0, t0,epsabs=quadtol,epsrel=quadtol)
    #integral = quadrature(S, 0, t0,tol=quadtol,rtol=quadtol, vec_func = False)
    return integral[0] - length 

def solve_t(curve_diff, length,opttol=1.e-15,quadtol=1e-10):
    return fsolve(curve_length, 0.0, (curve_diff, length,quadtol), xtol = opttol)[0] 
    #return brentq(curve_length, 0.0, 3.2*pi,(curve_diff, length, quadtol), rtol = opttol)

for i in range(1000):
    y = solve_t(circle_diff, 2*pi)

print 2*pi
print solve_t(circle_diff, 2*pi)
print solve_t(sin_diff, 7.640395578)
print solve_t(circle_diff, 2*pi,opttol=1e-5,quadtol=1e-3)
print solve_t(sin_diff, 7.640395578,opttol = 1e-12,quadtol=1e-6)
print "hypergeom"
print solve_t(hypergeom_diff, 2.0,opttol = 1e-12,quadtol=1e-12)
print solve_t(hypergeom_diff, 2.0,opttol = 1e-12,quadtol=1e-6)

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只是想了解情况：时间对吗？您知道的是：开始时间、开始位置、结束时间和结束曲线长度（t0、x0、y0、tF、S（tF）=D）。您希望找到该位移的最终位置（xF，yF）。您是否能够将曲线作为显式函数写入x，即：y=h（x）？Hi-fraxel:t只是一个虚拟变量，用于参数化曲线。我不认为把它当作时间有什么坏处。顺便说一句，我认为HYRY帮了我的忙，他发布的代码正好说明了我的方法。但是。。你能消除t并得到x中的显式函数吗，即：y=h（x）？（想必你可以）如果是这样的话，我可能有一个很酷的方法来做。不，这对我来说不是一个常见的情况。例如，参考圆圈。此外，这必须经常与各种形状，以最低限度的特殊情况。因此，我认为参数化路径上的标准方法可能是一条出路。

from scipy.integrate import quad, quadrature
from scipy.optimize import fsolve, brentq 
from math import cos, sin, sqrt, pi, pow

def circle_diff(t): 
    dx = -sin(t) 
    dy = cos(t) 
    return sqrt(dx*dx+dy*dy) 

def sin_diff(t): 
    dx = 1 
    dy = cos(t) 
    return sqrt(dx*dx+dy*dy) 

def hypergeom_diff(t):
    """ y = t^5 x = t^3 """
    dx = 3*t*t
    dy = 5*pow(t,4)
    return sqrt(dx*dx+dy*dy)

def curve_length(t0, S, length,quadtol): 
    integral = quad(S, 0, t0,epsabs=quadtol,epsrel=quadtol)
    #integral = quadrature(S, 0, t0,tol=quadtol,rtol=quadtol, vec_func = False)
    return integral[0] - length 

def solve_t(curve_diff, length,opttol=1.e-15,quadtol=1e-10):
    return fsolve(curve_length, 0.0, (curve_diff, length,quadtol), xtol = opttol)[0] 
    #return brentq(curve_length, 0.0, 3.2*pi,(curve_diff, length, quadtol), rtol = opttol)

for i in range(1000):
    y = solve_t(circle_diff, 2*pi)

print 2*pi
print solve_t(circle_diff, 2*pi)
print solve_t(sin_diff, 7.640395578)
print solve_t(circle_diff, 2*pi,opttol=1e-5,quadtol=1e-3)
print solve_t(sin_diff, 7.640395578,opttol = 1e-12,quadtol=1e-6)
print "hypergeom"
print solve_t(hypergeom_diff, 2.0,opttol = 1e-12,quadtol=1e-12)
print solve_t(hypergeom_diff, 2.0,opttol = 1e-12,quadtol=1e-6)