Python 使用scipy在DBLQUARD积分中获得的误差的含义是什么？

我想知道不同Python集成例程（例如dblquad）给出的错误的含义。因为我们不知道确切的时间 积分值，如何计算误差估计值？参考资料是什么？在我的一些计算中，我发现增加积分极限会使误差达到极高的值。因为这只是对误差的估计，所以依赖这样的结果是否明智？

简短回答 依靠这样的结果是否明智

在大多数情况下，是的。但是，如果您认为集成例程的行为异常，并且您不信任其输出，请尝试改变方法：例如，将集成区域划分为多个部分，分别对每个部分进行集成，然后查看结果是否相加

解释 在数值积分中，通过使用两种方法计算积分（或使用两个步长的相同方法）并考虑结果之间的差异来估计误差。我们发现的SciPy的四组程序

abserr = dabs((resk-resg)*hlgth)

其中resg是10点高斯公式的结果，resk是21点克朗罗德公式的结果。有关这些的数学含义，请参阅维基百科文章。（hlgth

hlgth

是积分长度的一半；此处的长度是由于缩放。）

事实上，我引用的公式不是最终的误差估计，它是一个非常粗糙的第一种方法。两行之后我们看到

abserr = resasc*(0.2d+03*abserr/resasc)**1.5d+00)

这正是维基百科文章所说的：

建议的误差估计值为（200*|高斯-克朗罗德|）1.5

这种绝对误差的估计不能保证限制计算积分和实际积分之间的差值（后者未知）。“推荐”估计在实践中往往有效，指数1.5（方法的收敛顺序）有一些数学上的理由，但我们永远不知道它是否真的涵盖了实际误差

毕竟，函数只在其域内的有限多个点上求值。据我们所知，在这些点上，它可能恰好是0，在其他地方，在集成例程没有看到的点上，它可能是巨大的

例子 下面是一个简单函数的积分，该函数的计算结果不正确：

from scipy.integrate import quad
import numpy as np
quad(lambda x: np.exp(-x**2), -1e2, 1e3)

---

返回

（4.176612573788305e-60，7.896357364711954e-60）

。实际积分约为1.77（pi的平方根）。误差估计值8e-60与值4e-60完全错误。原因是该函数在0附近局部化，积分间隔为[-1001000]，这要大得多。

quad

算法没有在任何具有较大值的点对函数进行采样，因此它的思想是，它几乎处处为零。

感谢您解释和引用abserr公式。我的被积函数是非常复杂的，比如说，在域[0，5e9]（0-inf的二重积分）中对40k点进行计算。其中5e9是无穷大的替代。我得到的错误可能高达1e6/1e11。这就是为什么我想知道它是否可靠。我没有得到任何溢出错误，但是我越是增加限制（比如说5e11），错误就越高（从1e6开始为1e11）。请注意应该非常高的整数值，比如1e21，错误看起来很小（1e6/1e11）。您认为在这种情况下，错误可以吗？集成的极限非常大，这可能是一个问题；我怀疑你得到的数字是假的。我在回答中列举了一个发生这种事情的例子。据我所知，你的积分可能是发散的。如果不是，变量的改变可能会有帮助（也许极坐标会更好？）。或者，一种并矢方法：在大小为2^k的区域上积分不同的k值；比较结果。这不是一个我可以在评论中解决的问题。谢谢你的例子和你的评论。我明白你的意思。我将尽可能精确地指定集成领域。积分已经在极坐标中。我没有使用并矢方法，但我会检查它。如果它已经在极坐标中，则并矢分解很方便：在0范围内积分