如何在python中计算数值导数的边界点？

我试着写一个函数，求任意一般函数/数字数组的导数。具体来说，我使用的是一个。问题是，我无法计算导数的边界点，因为中心差分公式使用的是超出边界的指数。我的代码在下面

import numpy as np
n = 20000 # number of points in array
xs = np.linspace(start=-2*np.pi, stop=2*np.pi, num=n) # x values
y = np.array([np.sin(i) for i in xs]) # our function, sine

def deriv(f, h):
    """
    Calauclate the numerical derivative of any function
    :param f: numpy.array(float), the array of numbers we differentiate
    :param h: step size
    :rtype d: numpy.array(float)
    """
    d = np.zeros_like(f)
    # this loop misses the first and last points in f
    for i in range(1, f.shape[0]-1):
        # 2-point formula
        d[i] = (f[i+1] - f[i-1])/(2*h)

    return d

h = abs(xs[0] - xs[1]) # step size
y1 = deriv(y, h) # first derivative
y2 = deriv(y1, h) # second derivative
y3 = deriv(y2, h) # third derivative

当我绘制y、y1、y2、y3时，你可以看到它在端点处爆炸

我试着在

deriv

中将端点设置为它们最近的邻居，如下所示。虽然这适用于低阶导数（第一阶和第二阶），但在高阶导数（第三阶和更高阶）时，它开始破裂

在中间，远离边界的导数计算得很好。问题在于边界

我应该如何处理这里的边界条件？不同的数值微分方案是否比中心差分方案更有效？

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编辑：我正在寻找一种通用方法来解决这个问题，而不仅仅是一种可以应用于正弦函数或任何其他周期函数的方法，正如我在这里用来说明的那样。

这更多的是一个数值方法问题，而不是一个编程问题

无论如何，如果函数具有周期性边界条件（看起来是正弦波，所以在本例中具有周期性），只需创建一个包含2个附加元素的新数组：新数组的起始元素将是原始数组的最后一个元素，新数组的结束元素将是原始数组的起始元素。这里有一个方法

f_periodic = np.zeros(f.size+2)
f_periodic[1:-1], f_periodic[0], f_periodic[-1] = f, f[-1], f[0]

您现在可以在

f_periodic

上进行区分，

d[1]

和

d[-2]

将是边界上正确的导数值（忽略

d[0]

和

d[-1]

）

在OP的新要求后编辑…

对于更一般的边界条件，例如边界处的特定值，可以采用不同的方法：

使用重影值：

再次扩展新边界的函数和值。根据数值微分的顺序，需要更多的鬼细胞。对于当前方案，可以进行简单的线性外推（每个边界仅需要1个重影值）：

请注意，还必须扩展

x

。但是，由于具有恒定的间距，因此只需使用

h

而不是空间差，例如

x[-2]-x[-3]

。现在，您可以区分

f_new

，并获得边界上导数的一阶近似值（因为您使用了线性外推来查找重影值）

在边界上使用向前和向后方案

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我不会在这里显示代码，但基本上您需要分别使用边界值和左右边界的右（向前）或左（向后）值进行区分。这是一阶近似值。

您可以对边界点使用2阶正向和反向微分方案。基本上，我们知道这一点

(f(x+h)-f(x))/h = f'(x) + h/2*f''(x) + O(h²)                       (I)

及

使用最后一个将一阶项替换为二阶导数，即计算

（I）-h/2*（II）

，得到

(-1/2*f(x+2h) + 2*f(x+h) -3/2*f(x))/h = f'(x) + O(h²)

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请注意，一阶导数中的O（h²）误差通常会导致除差的第二次迭代中的O（h）误差和第三次迭代中的O（1）。有人可能会认为误差项会适当地抵消，但这只会发生在内部点上，单侧导数会随着距离边界的增加而“破坏”该模式。

忽略极端

x

值及其相应的奇异性。这不是通常的做法吗？或者至少是一种常用的方法？如果你不喜欢这样，在-ve和+ve方向上扩展

x

一步，忽略扩展的肢体。这不是一个真正的编程问题，它更多的是一个数值分析方法。谢谢，但我真的在寻找一个通用的解决方案，而不仅仅是周期性的b.c。我在这里的示例中使用正弦函数，因为它很容易绘制和验证计算的导数是否正确，但我想将其扩展到更一般的函数，即具有类似Dirichlet边界条件的函数（边界处的特定值）？你没有在你的问题中详细说明这一点，所以我回答了你的问题--不只是适用于ODE和PDE吗？我只是在这里讨论函数的高阶导数，它们对于微分非常有用。无论如何，我会更新我的答案，以获得更一般的边界条件。新的答案对你有帮助吗？

(f(x+h)-f(x))/h = f'(x) + h/2*f''(x) + O(h²)                       (I)

(f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x))/h² = f''(x+h) + O(h²) = f''(x) + O(h)   (II)

(-1/2*f(x+2h) + 2*f(x+h) -3/2*f(x))/h = f'(x) + O(h²)