Python Mittag-Leffler函数的不稳定性

在尝试复制和帮助时，我遇到了一些我不理解的数值不稳定性：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import gamma

def MLf(z, a):
    """Mittag-Leffler function
    """
    k = np.arange(100).reshape(-1, 1)
    E = z**k / gamma(a*k + 1)
    return np.sum(E, axis=0)

x = np.arange(-50, 10, 0.1)

plt.figure(figsize=(10,5))
for i in range(5):
    plt.plot(x, MLf(x, i), label="alpha = "+str(i))
plt.legend()
plt.ylim(-5, 5); plt.xlim(-55, 15); plt.grid()

您可以在橙色线中看到不稳定性最好，其中

a=1

，从大约

x=-35

开始，但是

a=0

（蓝色线）也有问题。更改要求和的项数（即

j

）会更改发生不稳定性的

x

发生什么事了？我怎样才能避免这种情况

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如果a=0，您使用的MLf系列定义仅在| z | 1或全部（z>0）时适用： k=np.arange（100） 返回np.多项式.多项式.polyval（z，1/伽马（a*k+1）） #一个棘手案件的帮手，来自Gorenflo、Loutchko和Luchko 定义MLf（z，a）： 如果z<0： f=λx：（np.exp（-x*（-z）**（1/a））*x**（a-1）*np.sin（np.pi*a） /（x**（2*a）+2*x**a*np.cos（np.pi*a）+1） 返回1/np.pi*quad（f，0，np.inf）[0] elif z==0： 返回1 其他： 返回MLf（z，a） 返回np.vectorize（_MLf）（z，a） x=np.arange（-50,10,0.1） plt.图（figsize=（10,5）） 对于范围（1,5）内的i： plt.plot（x，MLf（x，i/3），label=“alpha=”+str（i/3）） plt.legend（） plt.ylim（-5,5）；plt.xlim（-55,15）；plt.grid（） 这里没有数字问题

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有趣。。。我很惊讶其他曲线看起来很好（a=0的例外情况比a=1的情况更失败）。我猜高阶粒子不会表现出奇怪的行为，因为它们收敛得很快（分母增长得很快）。遗憾的是，我没有比为`a={0,1}'的情况找到一种显示更好稳定性的替代表示法更好的建议。对于数学来说，一个好的表达方式并不一定是一个好的计算方式。是的，这很有趣！我尝试了使用

gammaln

的对数空间表示法，并将偶数和奇数分开，但a=1的曲线更糟糕。可能有一个很好的理由，但我无法理解。对于0np.polymonel.polyval（-z**a，1/gamma（a*k+1））

k = np.arange(100)
return np.polynomial.polynomial.polyval(z, 1/gamma(a*k + 1))

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import gamma
from scipy.integrate import quad

def MLf(z, a):
    """Mittag-Leffler function
    """
    z = np.atleast_1d(z)
    if a == 0:
        return 1/(1 - z)
    elif a == 1:
        return np.exp(z)
    elif a > 1 or all(z > 0):
        k = np.arange(100)
        return np.polynomial.polynomial.polyval(z, 1/gamma(a*k + 1))

    # a helper for tricky case, from Gorenflo, Loutchko & Luchko
    def _MLf(z, a):
        if z < 0:
            f = lambda x: (np.exp(-x*(-z)**(1/a)) * x**(a-1)*np.sin(np.pi*a)
                          / (x**(2*a) + 2*x**a*np.cos(np.pi*a) + 1))
            return 1/np.pi * quad(f, 0, np.inf)[0]
        elif z == 0:
            return 1
        else:
            return MLf(z, a)
    return np.vectorize(_MLf)(z, a)


x = np.arange(-50, 10, 0.1)

plt.figure(figsize=(10,5))
for i in range(1, 5):
    plt.plot(x, MLf(x, i/3), label="alpha = "+str(i/3))
plt.legend()
plt.ylim(-5, 5); plt.xlim(-55, 15); plt.grid()