python中一个实际问题离散功率谱密度的正确归一化

我正在努力实现功率谱密度（及其逆功率谱密度）的正确标准化

我遇到了一个真正的问题，比如加速度计的读数，以功率谱密度（psd）的形式表示，单位为振幅^2/Hz。我想把它转换成一个随机时间序列。然而，首先我想了解“前进”方向，时间序列到PSD

根据[1]，时间序列x（t）的PSD可通过以下公式计算：

PSD(w) = 1/T * abs(F(w))^2 = df * abs(F(w))^2

其中T是x（T）的采样时间，F（w）是x（T）的傅里叶变换，df=1/T是傅里叶空间中的频率分辨率。然而，我得到的结果并不等于我使用scipy-Welch方法得到的结果，请参见下面的代码

第一段代码取自scipy.welch纪录片：

from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt

fs = 10e3
N = 1e5
amp = 2*np.sqrt(2)
freq = 1234.0
noise_power = 0.001 * fs / 2
time = np.arange(N) / fs
x = amp*np.sin(2*np.pi*freq*time)
x += np.random.normal(scale=np.sqrt(noise_power), size=time.shape)

f, Pxx_den = signal.welch(x, fs, nperseg=1024)
plt.semilogy(f, Pxx_den)
plt.ylim(\[0.5e-3, 1\])
plt.xlabel('frequency \[Hz\]')
plt.ylabel('PSD \[V**2/Hz\]')
plt.show()

我注意到的第一件事是，绘制的psd随变量fs而变化，这对我来说似乎很奇怪。（也许我需要相应地调整nperseg参数？为什么nperseg不能自动设置为fs？）

我的代码如下：（注意，我定义了自己的fft_全函数，它已经处理了正确的傅里叶变换规范化，我通过检查Parsevals定理来验证）

不幸的是，我还不允许发布图片，但两个情节看起来不一样

如果有人能向我解释我错在哪里，并一劳永逸地解决这个问题，我将不胜感激：）

[1] ：等式2.82。航天器结构设计中的随机振动 理论与应用，作者：Wijker，J.Jaap，2009

---

scipy库使用Welch方法估计PSD。这种方法比只取离散傅里叶变换的平方模更复杂。简言之，其进展如下：

设x为包含N个样本的输入离散信号

将x分割为M个重叠段，这样每个段sm包含nperseg样本，并且每个连续段在noverlap样本中重叠，这样nperseg=K*（nperseg-noverlap），其中K是一个整数（通常K=2）。还请注意： N=nperseg+（M-1）*（nperseg-noverlap）=（M+K-1）*nperseg/K

从每个分段sm中减去其平均值（这将删除直流分量）： tm=sm-总和（sm）/nperseg

将获得的零平均段tm的元素乘以适当（非对称）窗口函数h（如Hann窗口）的元素： um=tm*h

计算所有向量um的快速傅里叶变换。在执行这些变换之前，我们通常首先向每个向量um附加太多的零，使其新维度成为2的幂（函数welch的nfft参数用于此目的）。让我们假设len（um）=2p。在大多数情况下，我们的输入向量是实值的，因此最好对实际数据应用FFT。它的结果是复数向量vm=rfft（um），这样len（vm）=2p-1+1

计算所有变换向量的平方模： am=abs（vm）**2， 或者更有效地： am=vm.real**2+vm.imag**2

按如下方式规范化向量am： bm=am/总和（h*h） bm[1:-1]*=2（这考虑了负频率）， 其中h是包含窗口系数的维数nperseg的实向量。在汉恩窗口的情况下，我们可以证明这一点 和（h*h）=3/8*len（h）=3/8*nperseg

将PSD估计为所有向量bm的平均值： psd=总和（bm）/M 结果是尺寸len（psd）=2p-1+1的向量。如果我们希望所有psd系数之和匹配加窗输入数据的均方振幅（而不是振幅平方和），那么矢量psd也必须除以nperseg。但是，scipy例程忽略了这个步骤。在任何情况下，我们通常在分贝级上显示psd，因此最终结果为： psd_dB=10*log10（psd）

有关更详细的说明，请阅读。另请参见和第13.4章

import scipy.fftpack as fftpack

def fft_full(xt,yt):
    dt = xt[1] - xt[0]
    x_fft=fftpack.fftfreq(xt.size,dt)
    y_fft=fftpack.fft(yt)*dt
    return (x_fft,y_fft)

xf,yf=fft_full(time,x)
df=xf[1] - xf[0]
psd=np.abs(yf)**2 *df
plt.figure()
plt.semilogy(xf, psd)
#plt.ylim([0.5e-3, 1])
plt.xlim(0,)
plt.xlabel('frequency [Hz]')
plt.ylabel('PSD [V**2/Hz]')
plt.show()