Python 精确计算线性函数对对数正态分布变量的积分

我迭代计算以下函数方程的一个不动点：

其中h是已知函数，Q是对数正态分布。让f*函数解函数方程。我知道f（z）/z是一个常数。然而，当用Python数值计算f时，比率f*（z）/z是单调递增的。为了量化误差的大小，我计算这个比率的最后一点和第一点之间的差值。我认为问题的根源在于函数

f

的数值积分：

函数f上的积分是关于对数正态分布的，stdv

sigma

平均值为零。在数值上，我计算积分如下：

integrand = lambda z: f(z) * phi.pdf(z)
result, error = fixed_quad(integrand, int_min, int_max, n=120)

我计算的误差主要由积分边界

int\u min

和

int\u max

决定。最初，我将集成边界指定为：

int_min, int_max = np.exp( - 1 * sigma), np.exp( 1 * sigma)

然而，当我改变积分边界以覆盖对数正态分布概率质量的95%时，即：

int_min, int_max = np.exp( - 2 * sigma), np.exp( 2 * sigma)

比率f*（z）/z的最高点和最低点之间的差值增加了系数100。stdv的数值为

sigma=0.012

在回答我的问题之前，我想提出两点意见：

当我使用函数

scipy.quadrature

而不是

scipy.fixed_quad

并将积分的误差容差定义为1e-8左右（默认值

scipy.quadrature

）时，比率中最高点和最低点之间的差值不会改变。这是否表明集成过程毕竟不是问题的根源

解f*的级别在很大程度上取决于积分边界。这一水平大致增加了3倍。级别的更改可能与Stackoverlow上发布的以下问题有关：

---

改变积分边界会对f*解的精度产生什么影响？如果使用的积分程序确实会导致问题，那么有没有更好的方法来数值计算积分

您是否尝试过使用

scipy.integrate.quad

（）？像

quad

这样的自适应积分器应该比使用

fixed\u quad

更有效。您也可以尝试

expect

的

scipy.stats.lognorm

（）方法。它使用

scipy.integrate.quad

来计算

func（x）*lognorm.pdf（x）

的积分，也就是说，它为您处理细节。@WarrenWeckesser:谢谢您的回复。我正在尝试你的两个建议。我会尽快对结果发表评论！