Python 使用scipy.integrate.quad时，增加正函数的边界会降低积分！如何解决？

我用scipy.integrate来计算定积分。我编写了以下代码片段来计算概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF），以计算PDF中的CDF，如下所示：

inf = 10000

def f_normal(m, tau): #normal pdf with mean np.sqrt(m- 1/2) and var 1/pi
    tmp = 1/np.sqrt(np.pi) * np.exp(  -  ( tau - np.sqrt(m- 1/2) )**2   )
    return tmp

def F_normal(m, x): #integral of f_normal from -inf to x
    return integrate.quad(lambda tau: f_normal(m, tau), -inf, x)

但当我评估时：

m=10    
print(f_normal(m, 10))    
print(F_normal(m, inf))

我得到了

（0.0，0.0）

对于

F_normal（m，inf）

，而我真的期望1。我不明白发生了什么事。我还试图理解integrate.quad命令，因此得到了这些奇怪的值：增加边界会降低正函数PDF的定积分，因此没有意义：

integrate.quad(lambda tau: f_normal(m, tau), -10, 10)
Out[30]: (1.0, 2.2977017217085778e-09)

integrate.quad(lambda tau: f_normal(m, tau), -100, 100)
Out[31]: (1.0, 8.447041410391393e-09)

integrate.quad(lambda tau: f_normal(m, tau), -1000, 1000)
Out[32]: (0.9999934640807174, 1.857441875165816e-09)

integrate.quad(lambda tau: f_normal(m, tau), -10000, 10000)
Out[33]: (5.659684283308144e-150, 1.1253180602819657e-149)

integrate.quad(lambda tau: f_normal(m, tau), -10000, 100)
Out[34]: (0.0, 0.0)

integrate.quad(lambda tau: f_normal(m, tau), -10000, 1000000)
Out[35]: (0.0, 0.0)

---

我有点困惑：感谢你的帮助

问题是

inf

太大了。您正在尝试对该函数进行聚合

但是您发送到integrate.quad的是

求积例程不太可能在值本质上不是0的任何地方对该函数进行采样，从而导致错误的结果

幸运的是，使用

np.inf

，您可以告诉算法，积分在一个无限区间上，它将更智能地查找函数相关行为的位置。该代码给出了正确的积分：

def f_normal(m, tau): #normal pdf with mean np.sqrt(m- 1/2) and var 1/pi
    tmp = 1/np.sqrt(np.pi) * np.exp(  -  ( tau - np.sqrt(m- 1/2) )**2   )
    return tmp

def F_normal(m, x): #integral of f_normal from -inf to x
    return integrate.quad(lambda tau: f_normal(m, tau), -np.inf, x)

m=10    
print(f_normal(m, m-.5))    
print(F_normal(m, np.inf))

或者，您可以在函数不太接近0的位置，对较小的有限区间进行积分。在这种情况下，中心（

np.sqrt（m-1/2）

）加上或减去100是可靠的（原始长度20000的间隔太大）：

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谢谢你的回答-这确实解决了打印（F_normal（m，np.inf））的问题，当m很小时（更精确地说，对于m小于或等于350，它得到的积分值接近1。但随后它迅速减小：对于$m\ge 365，$m值很小，对于大的m，它趋于零，例如$m=3750，$print（F_normal）（m，np.inf））提供2.73美元.$我想知道为什么会发生这种情况：积分应该始终为1，而不是在m很大的情况下变为零。我们仍然可以遇到与原始情况相同的问题。使用无限边界，算法将函数转换为有限区间，并在那里进行求积。如果转换后的函数在所有求积中大约为0对于e点，该算法从未找到任何相关点来计算结果。将平均值从原点移开会压缩变换域中的支持度，并使此问题更加常见。将支持度保持在原点附近（变换不太明显）会更可靠。再次感谢！但对于我的问题，我真的需要让m去无穷大，所以真的没有办法获得正确的打印值（F_normal（m，x））对于如此大的m和任意的x？如果你知道pdf的支持，如果它足够小，有限的间隔将起作用。例如，你的原始代码使用inf=20。使用

m=10000

，我使用0和200的有限边界得到正确的积分。但是如果你不知道函数的支持，那么quadra真的不可避免地会在某一点上失败：该算法将对所有为0的点进行采样，并错过函数正在做一些有趣的事情的部分。是的，我使用了大约sqrt（m-1/2）+/-100作为积分边界，对于大范围的m值，它似乎接近数值精度。

def f_normal(m, tau): #normal pdf with mean np.sqrt(m- 1/2) and var 1/pi
    tmp = 1/np.sqrt(np.pi) * np.exp(  -  ( tau - np.sqrt(m- 1/2) )**2   )
    return tmp

def F_normal(m, x): #integral of f_normal from -inf to x
    return integrate.quad(lambda tau: f_normal(m, tau), np.sqrt(m- 1/2)-100, x)

m=10000
print(f_normal(m, m-.5))    
print(F_normal(m, np.sqrt(m- 1/2)+100))