Python中的1D Wasserstein距离

当源分布和目标分布、

x

和

y

（也称为边际分布）为1D，即为向量时，下面的公式是Wasserstein距离/最佳传输的特例

其中，F^{-1}是边际

u

和

v

的累积分布的逆概率分布函数，从称为

x

和

y

的真实数据中导出，这两个数据均由正态分布生成：

import numpy as np
from numpy.random import randn
import scipy.stats as ss

n = 100
x = randn(n)
y = randn(n)

公式中的积分如何用python和scipy编码？我猜x和y必须转换成排序的边缘，它们是非负的，和为1，而Scipy的

ppf

可以用来计算逆的F^{-1}，

注意，当n变大时，n个样本的排序集接近1/n，2/n，…，n/n采样的逆CDF。例如：

将numpy导入为np
将matplotlib.pyplot作为plt导入
从scipy.stats导入norm
plt.plot（norm.ppf（np.linspace（0,1,1000）），label=“invcdf”）
plt.plot（np.sort（np.random.normal（size=1000）），label=“sortsample”）
plt.legend（）
plt.show（）

还要注意，从0到1的积分可以近似为1/n，2/n，…，n/n的和

因此，我们可以简单地回答您的问题：

def W(p, u, v):
    assert len(u) == len(v)
    return np.mean(np.abs(np.sort(u) - np.sort(v))**p)**(1/p)

请注意，如果

len（u）！=len（v）

您仍然可以使用线性插值的方法：

def W（p，u，v）：
u=np.排序（u）
v=np.排序（v）
如果len（u）！=len（v）：
如果len（u）>len（v）：u，v=v，u
us=np.linspace（0，1，len（u））
vs=np.linspace（0，1，len（v））
u=np.linalg.interp（u，us，vs）
返回np.平均值（np.绝对值（u-v）**p）**（1/p）

---

如果您有关于数据分布类型的先验信息，但没有其参数，则另一种方法是找到数据上的最佳拟合分布（例如使用

scipy.stats.norm.fit

）以计算

u

和

v

，然后以所需的精度进行积分。例如：

from scipy.stats import norm as gauss
def W_gauss(p, u, v, num_steps):
    ud = gauss(*gauss.fit(u))
    vd = gauss(*gauss.fit(v))
    z = np.linspace(0, 1, num_steps, endpoint=False) + 1/(2*num_steps)
    return np.mean(np.abs(ud.ppf(z) - vd.ppf(z))**p)**(1/p)

---

积分是和的一种表示形式，因此您应该将其表示为求和，并使用尽可能小的

dz

。查阅一本与数学方法有关的书，你可能会发现这个积分的更好的表示形式。我使用

W（1，u，v）

比较了上面的第二个代码片段，其中

u

和

v

是用

norm.rvs

生成的向量，但是当我将此函数的结果与

scipy.stats.wasserstein_distance（u，v）

进行比较时，您的函数将后者的输出乘以

1000

。例如，

W

将给出

120

如果

wasserstein_distance

给出

0.12

对于上面的最后一个代码段，函数

W_gauss

返回

nan

作为输出值，并且错误

运行时警告：在减法返回np.linalg.norm（ud.ppf（z）-vd.ppf（z），ord=p）中遇到无效值

。什么是

num_steps

以及应该如何设置它？@develist啊，问题是

gauss.ppf

在

0

和

1

处（正确地）是无限的。我会解决的

num_steps

只是一个整数参数，表示在计算积分时应该使用多少步，精度越高。你知道为什么（第一个）函数

W

在我最新版本的测试中没有返回与

wasserstein_distance

？@develist相同的结果吗（请确保您包含了我的编辑）我们有

W（1，u，v）

匹配

scipy.stats.wasserstein\u距离（u，v）

。确保您与

np.isclose

进行比较，而不是与

=

进行比较，因为浮点不是完美的。