python中的矩阵求逆问题：（A⁻；ⁱ；A≠；I）

我一直面临一个有趣的python问题。我试过求3x3矩阵A的逆

[[1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9]]

然后把它乘以初始值：A⁻ⁱA.我得到的不是单位矩阵（所有对角线元素都等于1），而是：

[[ 12.   8.   8.]
 [-16.  -8.   0.]
 [  4.   0.   0.]]

只有在这种特定情况下才会出现问题。带有其他值的矩阵给出正确的结果。代码如下：

import numpy as np
np.set_printoptions(precision=2,suppress=True)

A = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9])
A = A.reshape(3,3)

print(A)
print(np.linalg.det(A))
print(np.matmul(np.linalg.inv(A),A))

输出：

[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]

6.66133814775094e-16

[[ 12.   8.   8.]
 [-16.  -8.   0.]
 [  4.   0.   0.]] 

---

你的矩阵是不可逆的，例如，它说矩阵是奇异的

---

Python打印了一个非零值的行列式（

6.66133814775094e-16

），这可能会误导您，但是，这个值非常接近于0，您应该这样对待它。计算机对浮点数的运算通常不是完全精确的（参见此问题），这可能是行列式的值接近于零，但并不精确的原因。

您的矩阵是不可逆的，参见例如，它说矩阵是奇异的

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Python打印了一个非零值的行列式（

6.66133814775094e-16

），这可能会误导您，但是，这个值非常接近于0，您应该这样对待它。计算机对浮点数的运算通常不是完全精确的（例如，请参见此问题），这可能是行列式的值接近于零，但并不精确的原因。

此矩阵的行列式为0。自

import numpy as np
np.set_printoptions(precision=2,suppress=True)

A = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9])
A = A.reshape(3,3)
# print determinant
print(np.linalg.det(A))

返回

[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
0.0

---

您的矩阵没有可计算的逆。

此矩阵的行列式为0。自

import numpy as np
np.set_printoptions(precision=2,suppress=True)

A = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9])
A = A.reshape(3,3)
# print determinant
print(np.linalg.det(A))

返回

[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
0.0

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你有一个没有可计算逆的矩阵。

正如其他人指出的，奇异矩阵是不可逆的，所以你从a^-1a得到一个无意义的答案

Numpy包含一个方便的功能来检查

正如维基百科所说，这是衡量

Ax=b

中的输出值

b

对

a

中矩阵值的微小变化的敏感性（有点像广义导数）。较大的值表示

A

为“il调节”，可能导致值不稳定。这是实值矩阵的固有特性，但浮点运算会使其恶化

cond

比查看

np.linalg.det（A）

更有用，因为它对

A

中的值比例不敏感（而范数和行列式是）。例如，这里是一个值很小的矩阵，但实际上不存在可逆性问题：

A = 1e-10*np.random.random(size=(3,3))

np.linalg.det(A)
# 2.128774239739163e-31
# ^^ this looks really bad...

np.linalg.cond(A)
# 8.798791503909136
# nevermind, it's probably ok

A_ident = np.matmul(np.linalg.inv(A), A)
np.linalg.norm(A_ident - np.identity(3))
# 5.392490230798587e-16
# A^(-1)*A is very close to the identity matrix, not il-conditioned.

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正如其他人所指出的，奇异矩阵是不可逆的，所以从a^-1A得到的答案是无意义的

Numpy包含一个方便的功能来检查

正如维基百科所说，这是衡量

Ax=b

中的输出值

b

对

a

中矩阵值的微小变化的敏感性（有点像广义导数）。较大的值表示

A

为“il调节”，可能导致值不稳定。这是实值矩阵的固有特性，但浮点运算会使其恶化

cond

比查看

np.linalg.det（A）

更有用，因为它对

A

中的值比例不敏感（而范数和行列式是）。例如，这里是一个值很小的矩阵，但实际上不存在可逆性问题：

A = 1e-10*np.random.random(size=(3,3))

np.linalg.det(A)
# 2.128774239739163e-31
# ^^ this looks really bad...

np.linalg.cond(A)
# 8.798791503909136
# nevermind, it's probably ok

A_ident = np.matmul(np.linalg.inv(A), A)
np.linalg.norm(A_ident - np.identity(3))
# 5.392490230798587e-16
# A^(-1)*A is very close to the identity matrix, not il-conditioned.

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矩阵具有行列式0，因此不可逆。Python3.6在尝试反转时告诉了我很多：

numpy.linalg.linalgerro:Singular matrix

这是一个奇异矩阵。它没有逆矩阵，矩阵有行列式0，因此是不可逆的。Python3.6在尝试反转时告诉了我很多：

numpy.linalg.linalgerro:Singular matrix

这是一个奇异矩阵。它没有逆矩阵。我知道奇异矩阵和浮点数的复杂行为，但不确定是否是这样。据我所知，要使用

np.linalg.cond

函数确定矩阵是否可逆，我应该注意返回值与零有很大的不同。如果我误解了，请纠正我。这是正确的：它有效地衡量了对变化的敏感性。我知道奇异矩阵和浮点数的复杂行为，但不确定是否如此。据我所知，要使用

np.linalg.cond

函数确定矩阵是否可逆，我应该注意返回值与零有很大的不同。如果我误解了，请纠正我。这是正确的：它有效地衡量了对变化的敏感性。