生成欧氏范数的随机向量<；=Python中的1？

更具体地说，给定一个自然数d，如何在R^d中生成随机向量，使每个向量x具有欧几里德范数，这是基于Wolfram Mathworld在math.stackexchange.com上的文章和类似问题，您可以通过生成

d

独立高斯随机变量的向量和均匀分布在闭合区间

[0，1]

上的随机数

U

，然后根据用户2357112的答案将向量归一化为norm

U^（1/d）

，来生成这样的向量，您需要这样的东西：

import numpy as np
...
inv_d = 1.0 / d
for ...:
    gauss = np.random.normal(size=d)
    length = np.linalg.norm(gauss)
    if length == 0.0:
        x = gauss
    else:
        r = np.random.rand() ** inv_d
        x = np.multiply(gauss, r / length)
        # conceptually: / length followed by * r
    # do something with x

（这是我的第二个Python程序，所以不要向我开枪……）

诀窍在于

• 具有相同σ的d个独立高斯变量的组合在d维上是一个高斯分布，它显著地具有球对称性
• 通过除以范数，可以将d维中的高斯分布投影到单位球面上，并且
• d维单位球体中的均匀分布具有累积的径向分布rd（这是您想要的）

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这是我正在使用的Python/Numpy代码。由于它不使用循环，因此速度要快得多：

n_vectors=1000
d=2

rnd_vec=np.random.uniform(-1, 1, size=(n_vectors, d))                # the initial random vectors
unif=np.random.uniform(size=n_vectors)                               # a second array random numbers
scale_f=np.expand_dims(np.linalg.norm(rnd_vec, axis=1)/unif, axis=1) # the scaling factors
rnd_vec=rnd_vec/scale_f                                              # the random vectors in R^d

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第二个随机数数组（unif）需要作为第二个比例因子，因为否则所有向量的欧几里德范数都将等于一。
您还应该定义期望的概率分布。我想，欧几里德空间是一致的。你可以根据约束条件减少后续数字的空间。对于最基本的情况，如果d=2，第一个数字是0.4，那么在区间[0，sqrt（1-0.4**2）]中生成第二个数字？@ayhan：这会不会使最后几个维度不太可能是高数字（因为这需要之前所有的维度都很小），从而影响随机性？“几乎所有的高维空间都是”远离中心。换句话说，高维单位超立方体可以说几乎完全由超立方体的“角”组成，几乎没有“中间”——@lamb_da_微积分你是对的，第一个数字不应该来自均匀分布。@WalterTross:的确，这就是为什么我们要采取第二步来修正标准。