用python实现多元学生t分布

要生成具有多元t分布的样本，我使用此函数：

def多变量（mu，Sigma，N，M）：
'''
输出：
产生d维多元t分布的M个样本
输入：
mu=平均值（d维numpy数组或标量）
Sigma=比例矩阵（dxd numpy阵列）
N=自由度
M=要生产的样品数量
'''
d=len（西格玛）
g=np.tile（np.random.gamma（N/2,2./N，M）、（d，1））.T
Z=np.随机多变量正态分布（np.零（d），σ，M）
返回mu+Z/np.sqrt（g）

但我现在寻找的是it本身，因此我可以计算

维度>1

的元素密度

---

这将类似于包的

stats.t.pdf（x，df，loc，scale）

，但在多维空间中。

我自己对密度进行了编码：

将numpy导入为np
从数学导入*
def多元t分布（x，mu，Sigma，df，d）：
'''
多元t-学生密度：
输出：
给定元素的密度
输入：
x=参数（d维numpy数组或标量）
mu=平均值（d维numpy数组或标量）
Sigma=比例矩阵（dxd numpy阵列）
df=自由度
d:尺寸
'''
Num=伽马（1.*（d+df）/2）
Denom=（伽马（1.*df/2）*功率（df*pi，1.*d/2）*功率（np.linalg.det（Sigma），1./2）*功率（1+（1./df）*np.dot（np.dot（（x-mu），np.linalg.inv（Sigma）），1.*（d+df）/2））
d=1。*Num/Denom
返回d

这评估了n×d数据矩阵X的多元student-T分布的对数pdf：

from scipy.special import gamma
from numpy.linalg import slogdet

def multivariate_student_t(X, mu, Sigma, df):    
    #multivariate student T distribution

    [n,d] = X.shape
    Xm = X-mu
    V = df * Sigma
    V_inv = np.linalg.inv(V)
    (sign, logdet) = slogdet(np.pi * V)

    logz = -gamma(df/2.0 + d/2.0) + gamma(df/2.0) + 0.5*logdet
    logp = -0.5*(df+d)*np.log(1+ np.sum(np.dot(Xm,V_inv)*Xm,axis=1))

    logp = logp - logz            

    return logp

---

我推广了@farhawa的代码，允许在

x

中有多个条目（我发现我想一次查询多个点）

---

我尝试了以上的答案，每个答案都得到了不同的结果，但我不确定为什么/什么可能是错的。以下是我基于高斯混合的，我认为是有效的（对于任意大小的输入numpy数组X和c t分布，参数在列表均值和covars中）：

---

我注意到Sigma的维度至少应该是2x2，否则np.linalg会呕吐。为什么在

pycopula

包中会出现完全相同的代码？而

x

的含义是什么，它所说的只是“参数”，我认为它不是。我没有解释为什么代码会出现在别处，但我知道这个答案写在2015年，github代码是在2018年推出的。。也就是说，这里的X是你想要应用t分布的值，这里似乎有点不对劲。我得到的log_pdf大约是df的一个系数。你能解释一下多变量的工作原理吗？你似乎把student-t分布和一元伽马和多元正态联系起来，我不明白为什么它会起作用？谢谢

x

的含义是什么，它所说的只是“参数”，我认为它不是

import numpy as np
from math import gamma

def multivariate_t_distribution(x, mu, Sigma, df):
    '''
    Multivariate t-student density. Returns the density
    of the function at points specified by x.

    input:
        x = parameter (n-d numpy array; will be forced to 2d)
        mu = mean (d dimensional numpy array)
        Sigma = scale matrix (dxd numpy array)
        df = degrees of freedom

    Edited from: http://stackoverflow.com/a/29804411/3521179
    '''

    x = np.atleast_2d(x) # requires x as 2d
    nD = Sigma.shape[0] # dimensionality

    numerator = gamma(1.0 * (nD + df) / 2.0)

    denominator = (
            gamma(1.0 * df / 2.0) * 
            np.power(df * np.pi, 1.0 * nD / 2.0) *  
            np.power(np.linalg.det(Sigma), 1.0 / 2.0) * 
            np.power(
                1.0 + (1.0 / df) *
                np.diagonal(
                    np.dot( np.dot(x - mu, np.linalg.inv(Sigma)), (x - mu).T)
                ), 
                1.0 * (nD + df) / 2.0
                )
            )

    return 1.0 * numerator / denominator 

import numpy as np
from scipy import linalg
try:  # SciPy >= 0.19
    from scipy.special import gammaln as sp_gammaln
except ImportError:
    from scipy.misc import gammaln as sp_gammaln

def log_multivariate_t_density(X, means, covars, nu = 1):
    n_samples, n_dim = X.shape
    nmix = len(means)
    log_prob = np.empty((n_samples, nmix))
    for c, (mu, cv) in enumerate(zip(means, covars)):
        try:
            cv_chol = linalg.cholesky(cv, lower=True)
        except linalg.LinAlgError:

            try:
                cv_chol = linalg.cholesky(cv + min_covar * np.eye(n_dim),
                                  lower=True)
            except linalg.LinAlgError:
                raise ValueError("'covars' must be symmetric, "
                         "positive-definite")

        cv_log_det = 2 * np.sum(np.log(np.diagonal(cv_chol)))
        cv_sol = linalg.solve_triangular(cv_chol, (X - mu).T, lower=True).T

        norm = (sp_gammaln((nu + n_dim) / 2.) - sp_gammaln(nu / 2.)
                - 0.5 * n_dim * np.log(nu * np.pi))
        inner = - (nu + n_dim) / 2. * np.log1p(np.sum(cv_sol ** 2, axis=1) / nu)
        log_prob[:, c] = norm + inner - cv_log_det

    return log_prob