Python 球形体积内均匀分布随机点的采样

我希望能够生成球形体积内粒子位置的随机均匀样本

下面的图片（由提供）显示了我正在寻找的内容。这是一个穿过球体的切片，显示了点的均匀分布：

这是我目前得到的：

您可以看到，由于球面坐标和笛卡尔坐标之间的转换，中心有一组点

我使用的代码是：

def new_positions_spherical_coordinates(self):
   radius = numpy.random.uniform(0.0,1.0, (self.number_of_particles,1)) 
   theta = numpy.random.uniform(0.,1.,(self.number_of_particles,1))*pi
   phi = numpy.arccos(1-2*numpy.random.uniform(0.0,1.,(self.number_of_particles,1)))
   x = radius * numpy.sin( theta ) * numpy.cos( phi )
   y = radius * numpy.sin( theta ) * numpy.sin( phi )
   z = radius * numpy.cos( theta )
   return (x,y,z)

下面是一些MATLAB代码，假设它创建了一个均匀的球形样本，这与。我似乎无法解读，也无法理解他们做了什么

function X = randsphere(m,n,r)

% This function returns an m by n array, X, in which 
% each of the m rows has the n Cartesian coordinates 
% of a random point uniformly-distributed over the 
% interior of an n-dimensional hypersphere with 
% radius r and center at the origin.  The function 
% 'randn' is initially used to generate m sets of n 
% random variables with independent multivariate 
% normal distribution, with mean 0 and variance 1.
% Then the incomplete gamma function, 'gammainc', 
% is used to map these points radially to fit in the 
% hypersphere of finite radius r with a uniform % spatial distribution.
% Roger Stafford - 12/23/05

X = randn(m,n);
s2 = sum(X.^2,2);
X = X.*repmat(r*(gammainc(s2/2,n/2).^(1/n))./sqrt(s2),1,n);

我非常感谢任何关于从Python中的球形体积生成真正统一的样本的建议

似乎有很多例子显示了如何从一个均匀的球壳中取样，但这似乎是一个更容易的问题。问题与缩放有关-半径为0.1的粒子应少于半径为1.0的粒子，以便从球体的体积生成均匀的样本

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编辑：修复并删除了我通常要求的事实，我的意思是统一的。

生成一组均匀分布在立方体中的点，然后丢弃距离中心超过所需球体半径的点。

这对于您的目的是否足够统一

In []: p= 2* rand(3, 1e4)- 1
In []: p= p[:, sum(p* p, 0)** .5<= 1]
In []: p.shape
Out[]: (3, 5216)

看起来像：

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您可以在（假设您在3D中工作）中生成随机点：S（r，θ，φ），其中r∈ [0，R），θ∈ [0, π ], φ ∈ [0，2π），其中R是球体的半径。这也允许您直接控制生成的点的数量（即，您不需要丢弃任何点）

为了用半径补偿密度损失，您将按照幂律分布生成径向坐标（有关如何进行此操作的说明，请参见dmckee的答案）

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如果您的代码需要（x，y，z）（即笛卡尔坐标），那么您只需将球面中随机生成的点转换为笛卡尔坐标，如前所述。

为了完整性，我更喜欢球面的丢弃方法

在球坐标系中，利用：

现在有了一个

（r，θ，phi）

组，它可以按照通常的方式转换为

（x，y，z）

x = r * sin( theta) * cos( phi )
y = r * sin( theta) * sin( phi )
z = r * cos( theta )

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在n维空间中，有一种在球体上均匀生成点的绝妙方法，您在问题中已经指出了这一点（我指的是MATLAB代码）

为什么它会起作用？答案是：让我们看看n维正态分布的概率密度。它是相等的（直到常数）

exp（-x_1*x_1/2）*exp（-x_2*x_2/2）..=exp（-r*r/2）， 所以它不取决于方向，只取决于距离！这意味着，在归一化向量后，结果分布的密度将在整个球体上保持不变

由于该方法简单、通用、高效（且美观），因此绝对应首选该方法。 该代码在三维球体上生成1000个事件：

size = 1000
n = 3 # or any positive integer
x = numpy.random.normal(size=(size, n)) 
x /= numpy.linalg.norm(x, axis=1)[:, numpy.newaxis]

顺便说一句，好的链接是：

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至于在一个球体内均匀分布，而不是规范化一个向量，你应该将vercor乘以一些f（r）：f（r）*r在[0,1]上以与r^n成比例的密度分布，这是在你发布的代码中完成的规范化高斯3d向量均匀分布在球体上，请参见

例如：

N = 1000
v = numpy.random.uniform(size=(3,N)) 
vn = v / numpy.sqrt(numpy.sum(v**2, 0))

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我同意Alleo的观点。我将你的Matlab代码翻译成Python，它可以非常快地生成数千个点（在我的计算机中，2D和3D的生成速度只有几分之一秒）。我甚至运行了多达5D的超球体。 我发现你的代码非常有用，因此我将其应用于一项研究。Tim McJilton，我应该添加谁作为参考？

import numpy as np
from scipy.special import gammainc
from matplotlib import pyplot as plt
def sample(center,radius,n_per_sphere):
    r = radius
    ndim = center.size
    x = np.random.normal(size=(n_per_sphere, ndim))
    ssq = np.sum(x**2,axis=1)
    fr = r*gammainc(ndim/2,ssq/2)**(1/ndim)/np.sqrt(ssq)
    frtiled = np.tile(fr.reshape(n_per_sphere,1),(1,ndim))
    p = center + np.multiply(x,frtiled)
    return p

fig1 = plt.figure(1)
ax1 = fig1.gca()
center = np.array([0,0])
radius = 1
p = sample(center,radius,10000)
ax1.scatter(p[:,0],p[:,1],s=0.5)
ax1.add_artist(plt.Circle(center,radius,fill=False,color='0.5'))
ax1.set_xlim(-1.5,1.5)
ax1.set_ylim(-1.5,1.5)
ax1.set_aspect('equal')

将numpy导入为np
将matplotlib.pyplot作为plt导入
r=30.*np.sqrt（np.rand.rand（1000））
#r=30.*np.rand.rand（1000）
φ=2.*np.pi*np.rand.rand（1000）
x=r*np.cos（φ）
y=r*np.sin（φ）
plt.图（）
plt.绘图（x，y，'。）
plt.show（）

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好主意。对于球体，丢弃是相当有效的，并且在许多文本中被推荐为比精确采样所需的转换速度更快。我想到了这个想法，但这将损失约50%的创建点。因此，要创建16000个粒子，它将创建约32000个。因为立方体的面积为r^3，球体的面积为4/3*pi*（r/2）^3=所以比率=~4/8=.5这不会产生正态分布，@Tim要求的正态分布。正态分布和均匀分布不一样。哦@Juanchopanza我搞砸了。我是说均匀分布。我现在要去解决这个问题。注意，这对于高维空间来说是无效的，因为单位球的体积为零（=在球内对点进行采样的概率）.这和吉姆·刘易斯建议的一样，对吗？创建一个统一的立方体，扔掉球体以外的任何东西？@Tim McJilton：是的，我在吉姆的答案出来的时候输入了它，因为它是代码，所以我决定无论如何发布它。无论如何，你的问题中没有任何建议说生成更多实际需要的点会成为某种问题ic.想详细说明一下吗？谢谢，我正在运行一个16000多颗恒星的模拟，速度和位置都要一致。我希望有一种方法，我可以设置要保留的点数，因为我需要16000或其他什么。你的方法会行得通的，我想我可以继续逐1添加点数，直到我们得到16,000随函附上。@Tim McJilton:FWIW，在我（非常）普通的机器中，生成1e5 3d均匀随机点并丢弃外来者（屈服于约5.3e4点），需要大约35毫秒。如果这种性能不适用于您，请提供更多详细信息。Thanks@Tim麦克吉尔顿：现在看到《代码》杂志的答案，我想是《化学需氧量》

N = 1000
v = numpy.random.uniform(size=(3,N)) 
vn = v / numpy.sqrt(numpy.sum(v**2, 0))

import numpy as np
from scipy.special import gammainc
from matplotlib import pyplot as plt
def sample(center,radius,n_per_sphere):
    r = radius
    ndim = center.size
    x = np.random.normal(size=(n_per_sphere, ndim))
    ssq = np.sum(x**2,axis=1)
    fr = r*gammainc(ndim/2,ssq/2)**(1/ndim)/np.sqrt(ssq)
    frtiled = np.tile(fr.reshape(n_per_sphere,1),(1,ndim))
    p = center + np.multiply(x,frtiled)
    return p

fig1 = plt.figure(1)
ax1 = fig1.gca()
center = np.array([0,0])
radius = 1
p = sample(center,radius,10000)
ax1.scatter(p[:,0],p[:,1],s=0.5)
ax1.add_artist(plt.Circle(center,radius,fill=False,color='0.5'))
ax1.set_xlim(-1.5,1.5)
ax1.set_ylim(-1.5,1.5)
ax1.set_aspect('equal')

import random
R = 2

def sample_circle(center):
    a = random.random() * 2 * np.pi
    r = R * np.sqrt(random.random())
    x = center[0]+ (r * np.cos(a))
    y = center[1] + (r * np.sin(a))
    return x,y

ps = np.array([sample_circle((0,0)) for i in range(100)])

plt.plot(ps[:,0],ps[:,1],'.')
plt.xlim(-3,3)
plt.ylim(-3,3)
plt.show()