Python/numpy中的n维网格

我有一个未知数

n

，变量的范围从0到1，有一些已知的步骤

s

，条件是它们的总和为1。我想创建一个包含所有组合的矩阵。例如，如果

n=3

和

s=0.33333

则网格将为（顺序不重要）：

如何对任意

n

？

编辑执行此操作

这里有一个更好的解决方案。它基本上决定了生成所有有效组合的变量量的步骤数：

def partitions(n, k):
    if n < 0:
        return -partitions(-n, k)
    if k <= 0:
        raise ValueError('Number of partitions must be positive')
    if k == 1:
        return np.array([[n]])
    ranges = np.array([np.arange(i + 1) for i in range(n + 1)])
    parts = ranges[-1].reshape((-1, 1))
    s = ranges[-1]
    for _ in range(1, k - 1):
        d = n - s
        new_col = np.concatenate(ranges[d])
        parts = np.repeat(parts, d + 1, axis=0)
        s = np.repeat(s, d + 1) + new_col
        parts = np.append(parts, new_col.reshape((-1, 1)), axis=1)
    return np.append(parts, (n - s).reshape((-1, 1)), axis=1)

def make_grid_part(n, step):
    num_steps = round(1.0 / step)
    return partitions(num_steps, n) / float(num_steps)

print(make_grid_part(3, 0.33333))

作为比较：

%timeit make_grid_part(5, .1)
>>> 338 µs ± 2.25 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)
%timeit make_grid_simple(5, .1)
>>> 26.4 ms ± 806 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10 loops each)

make_grid_simple

如果再推一点，实际上会耗尽内存

---

这里有一个简单的方法：

def make_grid_simple(n, step):
    num_steps = round(1.0 / step)
    vs = np.meshgrid(*([np.linspace(0, 1, num_steps + 1)] * n))
    all_combs = np.stack([v.flatten() for v in vs], axis=1)
    return all_combs[np.isclose(all_combs.sum(axis=1), 1)]

print(make_grid_simple(3, 0.33333))

输出：

array([[ 0.        ,  0.        ,  1.        ],
       [ 0.        ,  0.33333333,  0.66666667],
       [ 0.        ,  0.66666667,  0.33333333],
       [ 0.        ,  1.        ,  0.        ],
       [ 0.33333333,  0.        ,  0.66666667],
       [ 0.33333333,  0.33333333,  0.33333333],
       [ 0.33333333,  0.66666667,  0.        ],
       [ 0.66666667,  0.        ,  0.33333333],
       [ 0.66666667,  0.33333333,  0.        ],
       [ 1.        ,  0.        ,  0.        ]])

[[ 0.          0.          1.        ]
 [ 0.33333333  0.          0.66666667]
 [ 0.66666667  0.          0.33333333]
 [ 1.          0.          0.        ]
 [ 0.          0.33333333  0.66666667]
 [ 0.33333333  0.33333333  0.33333333]
 [ 0.66666667  0.33333333  0.        ]
 [ 0.          0.66666667  0.33333333]
 [ 0.33333333  0.66666667  0.        ]
 [ 0.          1.          0.        ]]

---

然而，这并不是最有效的方法，因为它只是简单地生成所有可能的组合，然后只选择加起来等于1的组合，而不是一开始只生成正确的组合。对于较小的步长，可能会导致太高的内存成本。

假设它们的总和总是等于1，正如您所说：

import itertools

def make_grid(n):   
  # setup all possible values in one position
  p = [(float(1)/n)*i for i in range(n+1)]

  # combine values, filter by sum()==1
  return [x for x in itertools.product(p, repeat=n) if sum(x) == 1]

print(make_grid(n=3))

#[(0.0, 0.0, 1.0),
# (0.0, 0.3333333333333333, 0.6666666666666666),
# (0.0, 0.6666666666666666, 0.3333333333333333),
# (0.0, 1.0, 0.0),
# (0.3333333333333333, 0.0, 0.6666666666666666),
# (0.3333333333333333, 0.3333333333333333, 0.3333333333333333),
# (0.3333333333333333, 0.6666666666666666, 0.0),
# (0.6666666666666666, 0.0, 0.3333333333333333),
# (0.6666666666666666, 0.3333333333333333, 0.0),
# (1.0, 0.0, 0.0)]

---

我们可以将此视为将一些固定数量的对象（在本例中为1/s，并使用

sum\u left

参数表示）划分到一些给定数量的容器（在本例中为n）之间的问题。我能想到的最有效的方法是使用递归：

In [31]: arr = []
In [32]: def fun(n, sum_left, arr_till_now):
    ...:     if n==1:
    ...:         n_arr = list(arr_till_now)
    ...:         n_arr.append(sum_left)
    ...:         arr.append(n_arr)
    ...:     else:
    ...:         for i in range(sum_left+1):
    ...:             n_arr = list(arr_till_now)
    ...:             n_arr.append(i)
    ...:             fun(n-1, sum_left-i, n_arr)

这将产生如下输出：

In [36]: fun(n, n, [])
In [37]: arr
Out[37]: 
[[0, 0, 3],
 [0, 1, 2],
 [0, 2, 1],
 [0, 3, 0],
 [1, 0, 2],
 [1, 1, 1],
 [1, 2, 0],
 [2, 0, 1],
 [2, 1, 0],
 [3, 0, 0]]

现在我可以把它转换成一个numpy数组来进行元素乘法：

In [39]: s = 0.33
In [40]: arr_np = np.array(arr)
In [41]: arr_np * s
Out[41]: 
array([[ 0.        ,  0.        ,  0.99999999],
       [ 0.        ,  0.33333333,  0.66666666],
       [ 0.        ,  0.66666666,  0.33333333],
       [ 0.        ,  0.99999999,  0.        ],
       [ 0.33333333,  0.        ,  0.66666666],
       [ 0.33333333,  0.33333333,  0.33333333],
       [ 0.33333333,  0.66666666,  0.        ],
       [ 0.66666666,  0.        ,  0.33333333],
       [ 0.66666666,  0.33333333,  0.        ],
       [ 0.99999999,  0.        ,  0.        ]])

---

以下是使用itertools的直接方法。组合：

>>> import itertools as it
>>> import numpy as np
>>> 
>>> # k is 1/s
>>> n, k = 3, 3
>>> 
>>> combs = np.array((*it.combinations(range(n+k-1), n-1),), int)
>>> (np.diff(np.c_[np.full((len(combs),), -1), combs, np.full((len(combs),), n+k-1)]) - 1) / k
array([[0.        , 0.        , 1.        ],
       [0.        , 0.33333333, 0.66666667],
       [0.        , 0.66666667, 0.33333333],
       [0.        , 1.        , 0.        ],
       [0.33333333, 0.        , 0.66666667],
       [0.33333333, 0.33333333, 0.33333333],
       [0.33333333, 0.66666667, 0.        ],
       [0.66666667, 0.        , 0.33333333],
       [0.66666667, 0.33333333, 0.        ],
       [1.        , 0.        , 0.        ]])

---

如果速度是一个问题，

itertools.组合可以用a代替。
此方法也适用于任意总和（
total
）：

根据这个问题，每一行的总和应该是1。@Ankurakan啊，对了，我没有读对，谢谢，我会修改它。
make\u grid\u part
似乎有问题。试试
make_grid\u part（4，0.5）
并查看结果的下半部分。是否总是
s=1/n
或只是在示例中？@jdehesa:只是一个例子这个解决方案虽然很快，但与您的NumPy组合算法结合起来，我认为它是最快的，尤其是对于
n
和
k
的值。
>>> import itertools as it
>>> import numpy as np
>>> 
>>> # k is 1/s
>>> n, k = 3, 3
>>> 
>>> combs = np.array((*it.combinations(range(n+k-1), n-1),), int)
>>> (np.diff(np.c_[np.full((len(combs),), -1), combs, np.full((len(combs),), n+k-1)]) - 1) / k
array([[0.        , 0.        , 1.        ],
       [0.        , 0.33333333, 0.66666667],
       [0.        , 0.66666667, 0.33333333],
       [0.        , 1.        , 0.        ],
       [0.33333333, 0.        , 0.66666667],
       [0.33333333, 0.33333333, 0.33333333],
       [0.33333333, 0.66666667, 0.        ],
       [0.66666667, 0.        , 0.33333333],
       [0.66666667, 0.33333333, 0.        ],
       [1.        , 0.        , 0.        ]])

import numpy as np
import itertools as it
import scipy.special

n = 3
s = 1/3.
total = 1.00

interval = int(total/s)
n_combs = scipy.special.comb(n+interval-1, interval, exact=True)
counts = np.zeros((n_combs, n), dtype=int)

def count_elements(elements, n):
    count = np.zeros(n, dtype=int)
    for elem in elements:
        count[elem] += 1
    return count

for i, comb in enumerate(it.combinations_with_replacement(range(n), interval)):
    counts[i] = count_elements(comb, n)

ratios = counts*s
print(ratios)