Python 不近似求解广义积分

我在用python求解这个积分时遇到了问题。被集成的功能未在集成边界上定义。 我还发现了一些类似的问题，但都是对这个问题的非常具体的回答。 我不想对积分做太多的近似，如果可能的话，一点也不，因为我做这个积分的原因是为了避免近似。 有没有办法解这个积分

import numpy as np
from pylab import *
import scipy
from math import *
from scipy import integrate

m_Earth_air = (28.0134*0.78084)+(31.9988*0.209476)+(39.948*0.00934)+(44.00995*0.000314)+(20.183*0.00001818)+(4.0026*0.00000524)+(83.80*0.00000114)+(131.30*0.000000087)+(16.04303*0.000002)+(2.01594*0.0000005)
Tb0 = 288.15
Lb0 = -6.5
Hb0 = 0.0
def Tm_0(z):
    return Tb0+Lb0*(z-Hb0)
k = 1.38*10**-19 #cm^2.kg/s^2.K   #Boltzmann cst
mp = 1.67262177*10**-27 #kg
Rad= 637100000.0 #radius planet #cm
g0 = 980.665 #cm/s^2
def g(z):
    return (g0*((Rad/(Rad+z))**2.0))
def scale_height0(z):
    return k*Tm_0(z*10**-5)/(m_Earth_air*mp*g(z))



def functionz(z,zvar):
    return np.exp(-zvar/scale_height0(z))*((Rad+zvar)/(Rad+z))/((np.sqrt(((Rad+zvar)/(Rad+z))**2.0-1.0)))

def chapman0(z):
    return (1.0/(scale_height0(z)))*((integrate.quad(lambda zvar: functionz(z,zvar), z, np.inf))[0])

print chapman0(1000000)
print chapman0(5000000)

第一块变量和定义很好。问题在于“functionz（z，zvar）”及其集成。

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非常感谢任何帮助

除非你能解析地解出积分，否则如果没有对其边界的近似，就无法解出它。这不是一个Python问题，而是一个一般的微积分问题，因此为什么数学课要花这么大的力气向您展示数值近似

如果你不想让它有太大的不同，选择一个小ε和一个收敛速度快的方法

编辑-上一条语句的清晰度：

ε-ɛ-指通过积分边界的步长-δx-请记住，数值近似方法都将积分切片成碎片，并将其重新相加，将其视为每个碎片的宽度，碎片越小，近似效果越好。您可以在数字包中指定这些

一种快速收敛的方法意味着该方法能够快速逼近积分的真值，并且每一条的近似误差很小。例如，Riemann和是一种简单的方法，它假设每个条子都是矩形，而梯形用一条线连接条子的起点和终点，形成梯形。在这两种情况中，梯形通常收敛得更快，因为它试图解释形状内的变化。（这两种方法都不常用，因为大多数函数都有更好的猜测）

这两个变量都会改变计算的计算费用。通常，ε是最昂贵的改变，因此，选择一个好的近似方法很重要（对于相同的ε，有些方法的误差可能相差一个数量级）

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所有这些都取决于你的计算能容忍多少误差。

通过重新调整变量的大小，通常有助于消除可能的数值不稳定性。在您的情况下，

zvar

从

1e6

开始，由于

quad（）

中的一些实现细节，这可能会导致问题。如果将其缩放为

y=zvar/z

，以便积分从

1

开始，那么对于

z=1e6

，它似乎收敛得很好：

def functiony(z, y):
    return np.exp(-y*z/scale_height0(z))*(Rad+y*z)/(Rad+z) / np.sqrt(((Rad+y*z)/(Rad+z))**2.0-1.0)

def chapman0y(z):
    return (1.0/(scale_height0(z)))*((integrate.quad(lambda y: functiony(z,y), 1, np.inf))[0])

>>> print(chapman0y(1000000))

1.6217257661844094e-06

（我设置了

m_Earth_air=28.8e-3

-您的代码中缺少该常数，我假设它是空气的摩尔质量，单位为（编辑）kg/mole）

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至于

z=5e6

，

scale\u height0（z）

为负值，在指数下给出了一个巨大的正值，使得积分在无穷远处发散。

我有一个类似的问题，发现SciPy quad需要您指定另一个参数，

epsabs=1e-1000

，

limit=1000

（步长限制），

epsrel=1e1

适用于我尝试过的所有东西。即在这种情况下：

def chapman0(z):    
    return (1.0/(scale_height0(z)))*((integrate.quad(lambda zvar: functionz(z,zvar), z, np.inf, limit=1000, epsabs=1e-1000, epsrel=1e1))[0])[0])
#results:
0.48529410529321887
-1.276589093231806e+21

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这似乎是一个很高的绝对误差容限，但对于不能快速收敛的积分来说，它似乎解决了这个问题。只是为其他有类似问题的人发帖，因为这篇文章已经很过时了。其他软件包中也有收敛速度更快的算法，但我在SciPy中没有发现。结果基于发布的代码（而不是选定的答案）。

您是否希望SciPy以分析的方式解决此问题？它不会那样做；

scipy.integrate

例程都计算数值近似值。

m_Earth_air

的值是多少？当你说“选择一个小epsilon，用一个快速收敛的方法”时，你在想什么方法？即使它现在给出了一个值，问题仍然是当y=1.0时函数（z，y）是无限的，当y=inf时为nan。因此，积分的值比它应该的值小得多。注：你的比例高度0（z）是正确的，我实际上在不同的z范围内有不同的比例高度函数，比例高度0（z）只适用于11公里（我的单位是11e5）。Ps2。很好的猜测为m_Earth_air！它是28.8 kg/kmol，空气的平均分子量：）

quad（）

在积分收敛时没有无穷大的问题。您可以尝试将

exp（-x）/sqrt（x）

从

0

集成到

inf

，您将得到

sqrt（pi）

。积分也没有什么不合适的地方。你怎么知道这个值比它应该的小？Wolframalpha毫无问题地集成了它，并给出了相同的答案。