python什么时候开始使用不同的大乘法算法？

我目前正在学习一门算法课程，我很想看看两种方法中的哪一种可以让大量的数字相乘，从而提高运行速度。我发现递归乘法的执行速度快了10倍。对于下面的代码，我得到了t_sim=53.05s和t_rec=4.73s。我做了一些其他的测试，它们似乎都在10倍的范围内

此外，您可以将递归乘法中的值放入树中，并重用它们以更快地计算列表子集的乘法

我做了一个理论上的运行时分析，使用标准乘法，两者都是n^2，但当使用karatsuba算法时，该因子下降到n^log_2（3）

简单乘法中的每个乘法都应该有运行时i*1。对i=1…n求和，我们得到一个算术级数，可以使用高斯公式得到n*（n+1）/2=O（n^2）

对于第二个，我们可以看到给定递归级别的乘法时间是（2^d）^2，其中d是深度，但只需要乘以n*2^-d值。这些级别最终形成一个几何系列，其中每个级别的运行时间为n*2^d，最终深度为log_2（n）。几何级数的解是n*（1-2^log_2（n））/（1-2）=n*（n-1）=O（n^2）。如果使用karatsuba算法，您可以通过同样的方法得到O（n^log_2（3））

如果代码使用的是karatsuba算法，那么加速是有意义的，但似乎没有意义的是两个运行时之间的线性关系，这使python看起来像是在使用标准乘法，根据wikipedia的说法，当使用少于500位时，标准乘法会更快。（我在下面的代码中使用了2^23位。每个数字都有一兆字节长）

随机导入
导入时间
def简单_乘法（值）：
a=1
对于值中的val：
a*=val
归还
def递归_乘法（值）：
如果len（值）==1：
返回值[0]
温度=[]
i=0
而i+1

两种版本的代码具有相同的乘法次数，但在简单版本中，每个乘法的平均长度约为2000位

---

在第二个版本中，n/2乘法的长度为24位，n/4乘法的长度为48位，n/8乘法的长度为96位，等等。。。平均长度只有48位。

你的假设有些错误。您的假设是，不同等级之间的每次相乘应花费相同的时间，例如

len（24）*len（72）

approx

len（48）*len（48）

。但事实并非如此，从以下片段可以看出：

%%timeit
random.getrandbits(2**14)*random.getrandbits(2**14)*random.getrandbits(2**14)*random.getrandbits(2**14)

>>>1000 loops, best of 3: 1.48 ms per loop

%%timeit
(random.getrandbits(2**14)*random.getrandbits(2**14))*(random.getrandbits(2**14)*random.getrandbits(2**14))

>>>1000 loops, best of 3: 1.23 ms per loop

---

即使在如此小的范围内，这种差异也是一致的

时间复杂性纯粹是一种理论上的度量——常数因子与任何事情都没有任何关联。只考虑实际代码损坏时的“常数因素”——不要混合这两种度量。你尝试过增加计算范围，看看当前趋势是否保持原样？@使用上面的值，它已经花费了整整一分钟的时间运行，所以看起来是这样的。infeasible@meowgoesthedog是的，我知道，但我认为，由于他们都只做乘法运算（或者至少是主要的乘法运算），他们有着相同的相关因素。这让我觉得python在执行乘法时使用了不同的算法，在这种情况下，您是对的，因子不应该对齐。让它运行一段时间，似乎趋势是，对于简单方法，大小加倍意味着时间增加4倍，而对于递归方法，则是3倍。这意味着方法1是二次的（每个乘法都是线性的），而方法2是log_2（3）的幂，这与karatsuba的算法相同。平均长度不是比较的正确度量，因为乘法的成本与长度不成正比，但它确实让人感觉到了为什么成对乘法更便宜。一次乘法大约需要n^2倍的时间，在每一个级别上，乘法的大小是双倍的，而非乘法的数量是减半的，但是由于乘法需要n^2倍的时间，因此大小的加倍比乘法的数量更重要。我做了更多的研究，并更新了我的问题，以反映这一点。@BenThayer在简单版本中，每次乘法取O（n），因为其中一个操作数是一个小的常量大小。总的来说，产生O（n^2）。在递归版本中，更大的乘法至少使用Karatsuba优化，然后可能使用toom cook，然后可能使用Schönhage–Strassen，因为它们变得更大

%%timeit
random.getrandbits(2**14)*random.getrandbits(2**14)*random.getrandbits(2**14)*random.getrandbits(2**14)

>>>1000 loops, best of 3: 1.48 ms per loop

%%timeit
(random.getrandbits(2**14)*random.getrandbits(2**14))*(random.getrandbits(2**14)*random.getrandbits(2**14))

>>>1000 loops, best of 3: 1.23 ms per loop