Python 三维空间中点与线之间的最短距离

我试图使用numpy或python中的任何东西来找到从点（x0，y0，z0）到由（x1，y1，z1）和（x2，y2，z2）连接的线的最小距离。不幸的是，我在网上只能找到与2d空间相关的内容，而且我对python还相当陌生。任何帮助都将不胜感激。提前谢谢

StackOverflow不支持Latex，所以我将对一些数学问题进行润色。一种解决方案来自这样一种想法：如果你的直线跨越了点

p

和

q

，那么对于某些实值

t

，该直线上的每个点都可以表示为

t*（p-q）+q

。然后，您希望最小化给定点

r

与该直线上任何点之间的距离，并且距离是单个变量

t

的函数，因此标准微积分技巧可以正常工作。考虑下面的例子，它计算<代码> r>代码>与<>代码> P<代码> > <代码> q>代码>之间的最小距离。通过手工，我们知道答案应该是

1

import numpy as np

p = np.array([0, 0, 0])
q = np.array([0, 0, 1])
r = np.array([0, 1, 1])

def t(p, q, r):
    x = p-q
    return np.dot(r-q, x)/np.dot(x, x)

def d(p, q, r):
    return np.linalg.norm(t(p, q, r)*(p-q)+q-r)

print(d(p, q, r))
# Prints 1.0

这在任何数量的维度上都可以很好地工作，包括2、3和10亿。唯一真正的限制是

p

和

q

必须是不同的点，以便它们之间有一条唯一的线

我在上面的例子中对代码进行了分解，以展示我从数学角度思考代码的两个不同步骤（查找

t

，然后计算距离）。这不一定是最有效的方法，如果你想知道各种各样的点和同一条线的最小距离，这当然不是最有效的方法——如果维度的数量很小的话，情况就更糟了。对于更有效的方法，考虑以下内容：

import numpy as np

p = np.array([0, 0, 0])  # p and q can have shape (n,) for any
q = np.array([0, 0, 1])  # n>0, and rs can have shape (m,n)
rs = np.array([          # for any m,n>0.
    [0, 1, 1],
    [1, 0, 1],
    [1, 1, 1],
    [0, 2, 1],
])

def d(p, q, rs):
    x = p-q
    return np.linalg.norm(
        np.outer(np.dot(rs-q, x)/np.dot(x, x), x)+q-rs,
        axis=1)

print(d(p, q, rs))
# Prints array([1.        , 1.        , 1.41421356, 2.        ])

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很可能我遗漏了一些简化，或者其他可以加快速度的事情，但这至少应该是一个好的开始。

这重复了@Hans Musgrave的解决方案，但想象一下我们对这些一无所知 “标准微积分技巧”很好用，但在线性代数方面也很差

我们只知道：

如何计算两点之间的距离

直线上的点可以表示为两点和参数的函数

我们知道找到一个函数的极小值

（列表与代码块不是朋友）

def距离（a、b）：
“”“计算两点之间的距离。”“”
返回np.linalg.norm（a-b）
def线到点的距离（p、q、r）：
“”“计算点r和穿过p和q的线之间的距离。”
def foo（t:浮动）：
#x是直线上的点，取决于t
x=t*（p-q）+q
#我们返回一个距离，它也取决于t
返回距离（x，r）
#哪个t使距离最小？
t0=sci.优化.最小化（foo，0.1）.x[0]
返回foo（t0）
#在本例中，距离为5
p=np.array（[0,0,0]）
q=np.数组（[2,0,0]）
r=np.array（[1,5,0]）
断言abs（线到点的距离（p，q，r）-5）<0.00001

您不应该将此方法用于实际计算，因为它使用 当你有一个封闭形式的解时的近似值，但它可能有用

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要揭示一些逻辑，就要找到邻近的答案

一旦你有了一个2d的例子，你只需要做两次，因为你有把事情复杂化的天赋）@EvgenyPogrebnyak对此表示抱歉。我应该改变什么？也许，给一些线索，d（）和t（）做什么以及为什么？我想说这是一个非常简单的答案。

def distance(a, b):
    """Calculate a distance between two points."""
    return np.linalg.norm(a-b)

def line_to_point_distance(p, q, r):
    """Calculate a distance between point r and a line crossing p and q."""
    def foo(t: float):
        # x is point on line, depends on t 
        x = t * (p-q) + q
        # we return a distance, which also depends on t        
        return distance(x, r)
    # which t minimizes distance?
    t0 = sci.optimize.minimize(foo, 0.1).x[0]
    return foo(t0)

# in this example the distance is 5
p = np.array([0, 0, 0])
q = np.array([2, 0, 0])
r = np.array([1, 5, 0])

assert abs(line_to_point_distance(p, q, r) - 5) < 0.00001