使用Python进行优化（scipy.optimize）

我试图使用Python的scipy.optimize最大化以下函数。然而，经过多次尝试，它似乎不起作用。函数和我的代码粘贴在下面。谢谢你的帮助

问题

Maximize [sum (x_i / y_i)**gamma]**(1/gamma)
subject to the constraint sum x_i = 1; x_i is in the interval (0,1). 

x

是选择变量的向量

y

是参数向量<代码>伽马是一个参数。

x

s的总和必须为1。每个

x

必须在间隔（0,1）内

代码

def objective_function(x, y):
    sum_contributions = 0
    gamma = 0.2

    for count in xrange(len(x)):
        sum_contributions += (x[count] / y[count]) ** gamma
    value = math.pow(sum_contributions, 1 / gamma)
    return -value

cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: np.array([sum(x) - 1])})

y = [0.5, 0.3, 0.2]
initial_x = [0.2, 0.3, 0.5]

opt = minimize(objective_function, initial_x, args=(y,), method='SLSQP',  
constraints=cons,bounds=[(0, 1)] * len(x))

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有时，无论出于何种原因，数值优化器都无法工作。我们可以将问题参数化，使之稍微不同，这样就行了。（而且可能工作得更快）

例如，对于

（0,1）

的边界，我们可以使用一个转换函数，使得

（-inf，+inf）

中的值在被转换后，将在

（0,1）

中结束

我们可以在等式约束下执行类似的操作。例如，我们可以将维度从3减少到2，因为

x

中的最后一个元素必须是

1-sum（x）

如果仍然不起作用，我们可以切换到不需要衍生工具信息的优化器，例如

Nelder-Mead

还有

结果是：

In [113]:

trans_x(opt.x)
Out[113]:
array([ 0.29465097,  0.33482303,  0.37052601])

我们可以通过以下方式将其可视化：

In [114]:

x1 = np.linspace(0,1)
y1 = np.linspace(0,1)
X,Y = np.meshgrid(x1,y1)
Z = np.array([F(item, y) for item 
              in np.vstack((X.ravel(), Y.ravel())).T]).reshape((len(x1), -1), order='F')
Z = np.fliplr(Z)
Z = np.flipud(Z)
plt.contourf(X, Y, Z, 50)
plt.colorbar()

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即使是棘手的问题，这个问题也有点过时。我想添加一个替代解决方案，它可能对将来遇到这个问题的其他人有用

我们发现你的问题是可以解析解的。您可以从写下（等式约束）优化问题的拉格朗日开始：

L = \sum_i (x_i/y_i)^\gamma - \lambda (\sum x_i - 1)

通过将该拉格朗日函数的一阶导数设置为零，可以找到最优解：

0 = \partial L / \partial x_i = \gamma x_i^{\gamma-1}/\y_i - \lambda
=> x_i \propto y_i^{\gamma/(\gamma - 1)}

利用这种洞察力，可以通过以下方式简单有效地解决优化问题：

In [4]:
def analytical(y, gamma=0.2):
    x = y**(gamma/(gamma-1.0))
    x /= np.sum(x)
    return x
xanalytical = analytical(y)
xanalytical, objective_function(xanalytical, y)
Out [4]:
(array([ 0.29466774,  0.33480719,  0.37052507]), -265.27701765929692)

CT Zhu的解决方案是优雅的，但它可能会违反第三坐标上的正性约束。对于

gamma=0.2

，这在实践中似乎不是问题，但对于不同的gamma，您很容易遇到麻烦：

In [5]:
y = [0.2, 0.1, 0.8]
opt = minimize(F, np.array([0., 1.]), args=(np.array(y), 2.0),
               method='Nelder-Mead')
trans_x(opt.x), opt.fun
Out [5]:
(array([ 1.,  1., -1.]), -11.249999999999998)

对于与您的问题具有相同概率单纯形约束的其他优化问题，但没有解析解，可能值得研究投影梯度法或类似方法。这些方法利用了一个事实，即有一种快速算法可以将任意点投影到该集合上，请参见

---

（要查看完整的代码和更好地呈现方程式，请查看Jupyter笔记本）

如果您能更具体地说明“大量尝试”需要什么来阐明问题的目的，可能会有所帮助。您的代码对我很有用。你有什么问题？我得到了最优的

x_opt:array（[0.29465573,0.33480638,0.37053789]）

。我所要更改的只是

边界

中应该有

len（初始值x）

或

len（y）

，因为

x

未在代码中定义。@askewchan，可能是数值稳定性问题。在我的Mac电脑上，我得到了

nan``nan``nan

，

“超过了迭代限制”

Hi@CT-Zhu，绝妙的解决方案。

x1=x**2/（1+x**2）

的作用是什么？对于

（-inf，+inf）

中的

x

，将其“转换”为

中的
x1
（0，1）

。就像设置边界一样，OP要求“x必须在间隔（0,1）内”。它实际上将-inf转换为1！它只适用于（0，+inf）我们可以使用“BFGS”而不是“Nelder Mead”吗？您使用“Nelder Mead”有什么原因吗？代码如何确保所有值均为正值？Andi，谢谢。但我试图解决的优化问题与您使用分析方法解决的问题有些不同。这里是完整的问题：我很高兴听到解析解和快速数值近似。谢谢：-如果第三个参数必须保持正值，是否需要此工作

#a=第三坐标（正约束）

a=abs（a）

In [5]:
y = [0.2, 0.1, 0.8]
opt = minimize(F, np.array([0., 1.]), args=(np.array(y), 2.0),
               method='Nelder-Mead')
trans_x(opt.x), opt.fun
Out [5]:
(array([ 1.,  1., -1.]), -11.249999999999998)