Python exp（-mod（x））的解析傅里叶变换与数值傅里叶变换的比较`

我想使用

numpy.fft

模块来理解函数的解析FT和数值FT之间的区别（即为什么它们不一样）。从方程开始

,

此项的傅里叶变换可显示为分析FT（例如，参见Arfken、Weber和Harris p966，或

sympy

：

Fourier_变换（exp（-abs（x）），x，k）

，这是

2*pi

不同的一个系数）：

使用python/numpy计算

sig=np.exp（-np.abs（x））

的FFT给出了一个数值FT，可以根据解析解绘制（FT_numeric~=FT_解析x波在绘图中）

可将分析FT视为数值FT的边界窗口函数，并可通过乘以适当的

cos

函数将其转换为数值FT（FT_解析x波与FT_数值重叠，函数形式见示例代码）

我的问题是，在这种情况下，为什么这个

numpy

FFT会产生一个修改的（由cos波调制的）数值FT？这与FFT的定义有关吗？我如何从它的描述中分辨出来：

---

似乎有一个根本性的误解。没有cos调制。您只是在绘制数值FFT信号的实部和分析结果的幅值。

---

在处理真实信号时，真实部分显然在0附近镜像。因此余弦。

似乎存在一个根本性的误解。没有cos调制。您只是在绘制数值FFT信号的实部和分析结果的幅值。链接的问题回答了您的问题。你所看到的是因为你的输入信号移动了半个周期。这将产生

i*pi*k

的相移。在应用

fft

@CrisLuengo之前，您需要对输入信号使用

ifftshift

，您是对的-如果我先使用

ifftshift

，则FT会正常工作。我想如果输入信号的域是关于零对称的，我应该使用这个方法？然而，在

numpy.fft

模块文档中，我看不到有这样的说明。也许你应该知道这一点？我不确定这个问题是重复的，因为它使用不同的库，不同的语言，关于不同的函数，尽管基本的修复是相同的。我认为这个概念已经在那里解释过了：原点必须是FFT输入向量的第一个样本。你在中间有原点，所以FFT认为它移动了半个周期。假设信号是周期性的，它与对称性无关，这对任何信号都适用。但是FFT（实际上是DFT）总是处理周期信号，输入向量是一个周期。这与英国《金融时报》完全不同。你是对的！我很笨。非常感谢。将

ft\u analysis.real

更改为

np.abs（ft\u analysis）

，看起来不错。这是错误的。解析解是纯实的，OP不是“只画实部”，没有虚部。数值结果确实有一个虚部，它是由输入信号的偏移引起的。仅仅放弃这个阶段是不正确的，即使它似乎给出了正确的结果。如果解析解在任何地方都有非零相位，则该解将失败。正确的解决方案是在

fft

之前对输入信号使用

ifftshift

。正如克里斯所说，我没有理由使用

np.abs

值（这一直困扰着我-偶数函数的FT应该是纯实数）。如Cris所示，如果我使用

ifftshift

对信号进行预移位，它将按预期工作（即绘制FT的真实部分与分析解相同）。谢谢你，克里斯。

import numpy as np
import numpy.fft as fft
import pylab as plt

x = np.linspace(-10, 10, 2001)
dx = x[1] - x[0]
normalization = 1 / dx

k = 2 * np.pi * fft.fftshift(fft.fftfreq(x.shape[0], d=dx))

# Signal.
sig = np.exp(-np.abs(x))

# Both shifted.
ft_numeric = fft.fftshift(fft.fft(sig))
ft_analytic = 2 / (1 + k**2)

wave = np.cos(2 * np.pi * k / (k[2] - k[0]))

plt.figure(1)
plt.clf()
plt.title('signal')
plt.plot(x, sig)
plt.xlabel('x')

plt.figure(2)
plt.clf()
plt.title('FT')
plt.plot(k, ft_analytic.real, label='ft_analytic')
plt.plot(k, normalization * ft_numeric, label='ft_numeric')
plt.plot(k, normalization * ft_numeric * wave, label='ft_analytic x wave')
plt.xlim((-15, 15))
plt.xlabel('k')
plt.legend()

plt.show()