Python 积分勒让德多项式的递推

我正在用python编写这些递归，不明白为什么官方的解决方案与我的不同。 n=1，2的简单情况很清楚。 这是我的方法：

return ((2*(k-1)-1)*x*leg(k-1) - ((k-1)-2)*leg(k-2)) / k

这是官方的解决方案：

return ((2*k-1)*x*leg(k-1) - (k-1)*leg(k-2)) / k

为什么他们要减少k来调用函数，但在第一部分中，系数（2*k-1）不是？为什么第二部分的系数改为（k-1）？

EDIT

因此，一般来说，afaiu，您的问题源于公式（在您所附的图像中确实显示了

L{k+1}（x）

），而它们确实实现了

L{k}（x）

，没有中间派生，显示了如何从

L{k+1}（x）

获得

L{k}（x）

我进一步认为这里有一些混乱，所以我将明显偏离符号。 让

m=k+1

在下面的内容中

然后，我们通过直接替换得到：

m * L(x, m) = (2*(m+1)-1) * x * L(x, m-1) - ((m-1)-2) * L(x, m-2)  # for m >= 3

产生

L(x, m) = ( (2*m + 2 - 1) * x * L(x, m-1) - ((m-3) * L(x, m-2) ) / m

在python语法中，这是：

def L(x, m):
    if m == 1:
        return x
    elif m == 2:
        return 0.5 * (x**2 - 1)
    else:  # do this for all m >= 3
        return ( (2*m + 1) * x * L(x, m-1) - ((m-3) * L(x, m-2) ) / m

为什么他们要减少k来调用函数，但在第一部分中，系数（2*k-1）不是

不管他们做了什么，都要遵循我的推导

为什么第二部分的系数改为（k-1）

我真的不知道；在我看来，他们似乎在替换过程中犯了一个错误，即他们必须将

m+1

而不是

m-1

---

首先计算

k-1

乘以

2

，然后减去

1

，这与

2*k-1

无关。例如：

k=5

通过您的解决方案

（2*（5-1）-1）=7

和官方解决方案

（2*5-1）=9

编辑

因此，一般来说，afaiu，您的问题源于公式（在您所附的图像中确实显示了

L{k+1}（x）

），而它们确实实现了

L{k}（x）

，没有中间派生，显示了如何从

L{k+1}（x）

获得

L{k}（x）

我进一步认为这里有一些混乱，所以我将明显偏离符号。 让

m=k+1

在下面的内容中

然后，我们通过直接替换得到：

m * L(x, m) = (2*(m+1)-1) * x * L(x, m-1) - ((m-1)-2) * L(x, m-2)  # for m >= 3

产生

L(x, m) = ( (2*m + 2 - 1) * x * L(x, m-1) - ((m-3) * L(x, m-2) ) / m

在python语法中，这是：

def L(x, m):
    if m == 1:
        return x
    elif m == 2:
        return 0.5 * (x**2 - 1)
    else:  # do this for all m >= 3
        return ( (2*m + 1) * x * L(x, m-1) - ((m-3) * L(x, m-2) ) / m

为什么他们要减少k来调用函数，但在第一部分中，系数（2*k-1）不是

不管他们做了什么，都要遵循我的推导

为什么第二部分的系数改为（k-1）

我真的不知道；在我看来，他们似乎在替换过程中犯了一个错误，即他们必须将

m+1

而不是

m-1

---

首先计算

k-1

乘以

2

，然后减去

1

，这与

2*k-1

无关。例如：

---

k=5

你的解决方案确实会产生

（2*（5-1）-1）=7

，而从官方解决方案来看

（2*5-1）=9

，

我有一种强烈的预感，这个问题更多的是关于数学的（显示官方公式和你的推导公式之间的等价性）这里的问题是，过去一些官方的解决方案是错误的。我只是想知道我的方法是否正确，将图中给出的公式转换为我的方法。由于2*（k-1）-1=2*k-2-1=2*k-3！=2*k-1，适用于整数中的所有k，同样适用于其他系数。我的问题是关于编程，而不是展示数学证明！我有一个强烈的预感，这个问题更多的是关于数学（显示一个官方公式和你的导出公式之间的等价性）而不是编程。这里的问题是，在过去，一些官方的解决方案是错误的。我只是想知道我的方法是否正确，将图中给出的公式转换为我的方法。由于2*（k-1）-1=2*k-2-1=2*k-3！=2*k-1，适用于整数中的所有k，同样适用于其他系数。我的问题是关于编程，而不是展示数学证明！以下哪种方法是正确的？2*（k-1）-1=2*k-2-1=2*k-3！=2*k-1对于所有的k，他们在这里使用不同的公式，这是勒让德多项式。在这种情况下，我也遵循官方的解决方案：我的练习要求使用不同的给定公式计算积分（！）勒让德多项式，如所附的图像中所示。我无法理解如何从这些公式中得出解决方案。我把它写在一张纸上，k=3，4，官方的解决方案给出了与预期不同的结果。现在我假设他们使用了勒让德多项式的公式，而不是积分勒让德多项式的公式。你能看一看这张图片，确定它是否符合官方的解决方案吗？我的理解是，所有的k都必须减少1，才能从L_（k+1）到L_k。但是在官方公式中有任何明显的系统，因为在一种情况下，他们减少了它，而在另一种情况下，没有…非常感谢您所做的努力，并确认官方解决方案存在错误！在第一部分中，您错误地替换了k，因为如果m=k+1，那么k=m-1！=m+1。因此，您的第一部分类似于官方解决方案，但它应该是错误的。第二部分就像我做的一样！谢谢你，托马斯！以下哪种方法是正确的？2*（k-1）-1=2*k-2-1=2*k-3！=2*k-1对于所有的k，他们在这里使用不同的公式，这是勒让德多项式。在这种情况下，我也遵循官方的解决方案：我的练习要求使用不同的给定公式计算积分（！）勒让德多项式，如所附的图像中所示。我无法理解如何从这些公式中得出解决方案。我把它写在一张纸上，k=3，4，官方的解决方案给出了与预期不同的结果。现在我假设他们使用了勒让德多项式的公式，而不是积分公式